行列のベキ乗（固有値が虚数の時）

質問

先に、
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1137580
で質問させていただいた者です。

２x２の行列で、固有値が実数のときには、ジョルダン化を用いてベキ乗の計算ができるようになりました。

が、固有値が虚数のときにも同様の方法で解けるのでしょうか？
実部と虚部に分けて計算したり、虚数平面を用いたりすることで計算できるのでしょうか？

回答No.1

adinat · ベストアンサー

先日も回答させていただいたadinatです。実はあの投稿のあとkeyguy様の投稿を読んで勘違いに気づいたのですが、投稿する前に締め切られていたので投稿できずじまいでした。僕のいった方法でももちろんn乗計算はできるのですが、ジョルダン標準形まで持っていくとn乗計算はわざわざ漸化式を解くようなことをしたなくても計算できそうです。もちろん一般にk×k行列でも計算できそうですね。

ところで2×2の行列について、固有値が虚数になる場合ももちろん標準形にすることはまったく同様の方法で可能です。また実係数の行列の場合、固有値は必ず二つとも実数になるかあるいは共役な虚数（a±bi）になります。すなわち虚数の固有値が出る場合は、必ず対角化されます（異なる固有値に属する固有ベクトルは直交するからです）。

というわけでもし実係数（当然整数係数の行列も含みます）の2×2行列ならば、
（1）対角化される（対角成分には二つの実数（同じ場合も含む）、あるいは互いに共役な複素数）
（2）対角化されないがジョルダン標準形にできる（ただしこの場合は対角成分はともに同じ実数になり、残る成分は1です）
の二つに必ず変形することができます。いずれの場合もn乗計算は大変容易であると思います。

お礼

重ねての回答ありがとうございます。

固有値が虚数の行列Aも、対角化した行列B、および正則行列Pを固有ベクトルから求めて、A^n＝P B^n P^(-1)を計算することができました。

B^nにはe^(inθ)やe^(-inθ)などを用いると思うのですが、Pにも虚数があると、上式を計算するのが結構面倒になりますが、これはしょうがないのですかね。