複素数と方程式の問題です

質問

二次方程式　ｘ2－ｐｘ＋2ｐ＝0の解は虚数で、解の3乗は実数であるとき、
実数ｐの値を求めよ。　　という問題です。解答を見ると、

１つの虚数解をαとすると
　　α2＝ｐαー2ｐ、α2＝ｐα2－2ｐα＝（ｐ2－2ｐ）αー2ｐ2
　　α3が実数であるからｐ2－2ｐ＝0　　　　　答え　ｐ＝2
　と解説されているのですが、なぜこのような式になるのかが理解できません。
　もっと詳しく教えていただけないでしょうか？
（二乗、三乗の表記の仕方がわからず、読みにくくてすみません。）
よろしくお願いします。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

aのb乗をa^bと表記します
(例えば2の5乗は、2^5と表すとします)。

> α2＝ｐαー2ｐ、α2＝ｐα2－2ｐα＝（ｐ2－2ｐ）αー2ｐ2

2つめの式の一番左の式が間違っていませんか？
a^3 = pα^2 - 2pα = (p^2 - 2p)α - 2p^2ではないでしょうか？

まず
a^2 = pα - 2p … (＊)
この(1)式の両辺にαをかけて
a^3 = pα^2 - 2pα
が出来上がります。
ここでこの「a^3 = pα^2 - 2pα」の右辺に、(＊)式を利用します。
つまり右辺のa^2にpα - 2pを代入します。
すると
α^3 = pα^2 - 2pα
α^3 = p(pα - 2p) - 2pα
α^3 = (p^2)α - 2p^2 - 2pα
最後に右辺をαでまとめてあげると
α^3 = (p^2 - 2p)α - 2p^2
となります。

a^3が実数になるので、
(実数) = (p^2 - 2p)α - 2p^2
となります。
αは虚数なので、(p^2 - 2p)α - 2p^2全体が実数になるためには
虚数部分(p^2 - 2p)αを無くす必要があります。
なので(p^2 - 2p)α = 0、よってp^2 - 2p = 0となります。

お礼

早速回答して頂き有難うございました。冬休みの宿題です。他にも古典や英語の課題がたくさんあり、せっかくの冬休みも楽しめそうにありません。数学から片付けようと頑張っているところです。また困った時には助けて下さい。よろしくお願いします。

回答No.1

gohtraw

α2＝ｐαー2ｐ　→　移項してｘ＾２＝ｐｘ－２ｐ　としたのちｘ＝αを代入しています。
α2＝ｐα2－2ｐα＝（ｐ2－2ｐ）αー2ｐ2　→　α＾３ではないですか？上式の両辺にαをかけています。これが実数になるためには虚数αの係数がゼロでなくてはならないのでｐ2－2ｐ＝0　となります。