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2x2の回転行列についての質問です。
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- aquatarku5
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A,Cを対角化します. Aについて, 固有値方程式=(1-x)(3-x)-5(-2)=0 x=2+3i,2-3i これらに対応する固有ベクトルは [1-3i] [1+3i] [2 ], [2 ] これより,2つの固有ベクトルを並べた行列Qを [1+3i 1-3i] [2 2 ] とし,Q^(-1)AQを求めると, [2-3i 0 ] [0 2+3i] Cについて, 固有値方程式=(a-x)^2+b(-b)=0 x=a+bi,a-bi これらに対応する固有ベクトルは, [-1] [-1] [ i], [-i] これより,2つの固有ベクトルを並べた行列Rを [-1 -1] [ i -i] とし,R^(-1)CRを求めると, [a+bi 0 ] [0 a-bi] 以上から, R^(-1)CR =R^(-1)・P^(-1)・APR =(PR)^(-1)・A(PR) =対角行列 =Q^(-1)AQ これより,a+bi=2-3i,a-bi=2+3iを解いて, a=2,b=-3.即ち行列C= [ 2 3] [-3 2] これは,スケール倍×θ回転の合成として表現可能.即ちC= [s 0][cosθ -sinθ] [0 s][sinθ cosθ] よって, スケール係数s=√13 cosθ=2/√13,sinθ=-3/√13 一方P=QR^(-1)= [-1 3] [-2 0]
- Tacosan
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P を適当に文字でおいて A = PCP^-1 かつ C がその形であることを使って方程式を解く.
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