３行３列の行列に関する問題への質問

質問

行列の書き方に少々自信がないのですが、上から１行ごとに書いていきます。
すべて3×3という行列として
上からP=[[0,1,0]',[0,0,1]',[1,0,0]]とし、A=[[a,b,c]',[c,a,b]',[b,c,a]] X=[[x,y,z]',[z,x,y],[y,z,x]]とする。

(1)でP^2=[[0,0,1]',[1,0,0,]',[0,1,0]]、P^3=[[1,0,0]',[0,1,0,]',[0,0,1]]を求めさせ
(2)で「AXは=αE+βP+γP^2とあらわされる。α、β、γをa,b,c,x,y,zを用いてあらわせ」という問題です

解答
題意のA、Ｘは,A=aE+βP+γP^2、Ｘ＝xE+yP+zP^2　とあらわせる
これらをかけて
AX=(aE+bP+cP^2)(xE+yP+zP^2)
=(ax+cy+bz)E+(bx+ay+cz)P+(cx+by+az)P^2
これがαＥ＋βP+γP^2に等しいから（係数比較して）、
α=(ax+cy+bz)　β=(bx+ay+cz)P γ=(cx+by+az)

という解答なんですが、二点わかりません
(1)まずはじめにＸは,A=aE+βP+γP^2、Ｘ＝xE+yP+zP^2とあらわされるという設定をどのように考えて設定したのかがわからないのと a b cがそれぞれE P P^2の係数になぜなっているのかもわかりません…

(2)最後の係数比較してというところが理解できないのですが…
本来、行列というのは安易に係数比較をしてはいけないと思うんですが、これはどうして係数比較をしてもいいんですか？
係数比較をする場合ほかにもいろいろな条件が必要かとお網のですが。

非常に煩雑で面倒かもしれませんが、どうかよろしくお願いいたします

回答No.1

irija_bari · ベストアンサー

まず、2点指摘させてください。

3行目：P=[[0,1,0]',[0,0,1]',[1,0,0]]
の「'」は何を意味しているのでしょうか？
意味が無いようなので無視します。

9行目：A=aE+βP+γP^2
これは、A = aE + bP + cP^2 の誤りですよね？

解説）
(1)A = aE + bP + cP^2、X＝ xE + yP + zP^2 と表される理由。
E, P, P^2 を紙に書いてよく眺めてください。
3つの行列の要素で"1"になっている部分は互いに重なっていませんよね？

ですから、A = fE + gP + hP^2 （f, g, hは新たに用意した係数）と仮定すると、
両辺の1行1列目は、左辺が a、 右辺が fです。
両辺の1行2列目は、左辺が b、 右辺が gです。
両辺の1行3列目は、左辺が c、 右辺が hです。

そこで、A = aE + bP + cP^2 と考えると、両辺は釣り合いますよね？

Xについても同様です。

A, X を E, P, P^2 を用いて表している動機は、
・先に述べたように E, P, P^2 の要素で"1"になっている部分が重なっていない。
・AXを実行すると、P^3, P^4 が出てくるが、P^3 = E, P^4 = P である。
というところだと思います。

(2)係数比較してよいのは、
(ax + cy + bz)E + (bx + ay + cz)P + (cx + by + az)P^2 = αE + βP + γP^2
（左辺はAXの計算結果）
の両辺に含まれる行列は、全て3行3列で、しかも行列同士の積をとっていないため、
必ず両辺とも3行3列の行列になることがわかっているからです。
==== 解説終わり ====

以下、私見です。
この解説はいたずらに問題を複雑にしているように思います。
問(2)を素直に解くと、

αE + βP + γP^2
= α[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]] + β[[0, 1, 0], [0, 0, 1], [1, 0, 0]]
+ γ[[0, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 0]]

なので、αE + βP + γP^2 の1行1列目はαであることがわかる。
（同様に1行2列目はβ、1行3列目はγ）
そこで、AX を計算して、
1行1列目は、ax + bz + cy = α
1行2列目は、ay + bx + cz = β
1行3列目は、az + by + cx = γ
となり、残りの6要素が両辺で釣り合うかどうか確認する。

という手順になると思います。（あくまでも私の手順です。）

お礼

おぉー理解できました、できました
どれもずれていたからそういうことができたんですね、すごく複雑そうにみえましたが、丁寧に解説いただき理解できました
ありがとうございました

ただ一点、気になるところがあるのですが…
係数比較していい理由に
「両辺に含まれる行列は、全て3行3列で、しかも行列同士の積をとっていないため、必ず両辺とも3行3列の行列になることがわかっているからです]
と挙げていますが、それがあるとなぜ係数比較をしていいことになるんですか？
それが下記の⇒が成り立つ条件なんですか？

ちなみに、「係数比較して」というところの補足として
αE + βP + γP^2=α'E + β'P + γ'P^2
⇔α=α' β=β' γ=γ'
が成り立つ（第一行の各成分を比較すればよい）.
なお、一般の行列Ｐについては⇒はいえないことに注意
とありましたことを追加しておきます

回答No.3

irija_bari

ANo.1 です。わかってもらえて嬉しいです。

「両辺に含まれる行列は、全て3行3列で、しかも行列同士の積をとっていないため、必ず両辺とも3行3列の行列になることがわかっているからです」
ですが、誤りです。申し訳ない！
この問題の特徴をうまく言い表せないかと思い、上記のような記述をしてしました。

以下に正しい記述をします。

>ちなみに、「係数比較して」というところの補足として
>（以下略）
は、まさにその通りです。

E, P, P^2 の3つの行列の要素で"1"になっている部分は互いに重なっていません。
ですから、

αE + βP + γP^2=α'E + β'P + γ'P^2

の1行1列目の左辺はα、右辺はα'
（1行2列目の左辺はβ、右辺はβ'、以下、残り7要素をチェックすべし。）
となるため、α=α' β=β' γ=γ'になるのです。

====
ANo.2さんが書いた、
>これは本来、korokoro48 さんが省略した（３）の逆行列を求めるために、
>大学レベルの知識を使わずに解けるように誘導したものです。
>巡回行列と言います。
という理由があるため、一見面倒な解き方をしているのかもしれませんね。

お礼

おぉそういうことだったんですか、すべて「E, P, P^2 の3つの行列の要素で"1"になっている部分は互いに重なっていません」という事実が重要だったんですね

これでおそらくすべての疑問は解決できたと思います
紙に書き出して考えてくださったと思うと、非常にありがたい気持ちでいっぱいになります
わざわざ、僕のためにここまで丁寧に見やすく、順序よく説明してくださって本当にありがとうございました
何かまたご機会があったらよろしくおねがいいたします。

回答No.2

ka1234

こんにちは。

この問題は、korokoro48 さんが高校生か大学生かによって回答は変わって
きます。入試問題からの質問ということで、高校レベルでお答えします。

＞どのように考えて設定したのかがわからない
これは本来、korokoro48 さんが省略した（３）の逆行列を求めるために、
大学レベルの知識を使わずに解けるように誘導したものです。
巡回行列と言います。

＞a b cがそれぞれE P P^2の係数になぜなっているのかもわかりません…
E+P+P^2=(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) となります。更に P^3=E でもあります。
納得いかないかな。

＞係数比較をする場合ほかにもいろいろな条件が必要かとお網のですが。
係数比較が可能なのは「線型独立な時」です。
本問の場合、E, P, P^2 は線型独立です。
なぜならば、それぞれの行列の成分は 1 か 0 だけで、同じ所にありませんよね。

＞お網のですが。→これは意味が分かりません。

行列について「安易な係数比較」を警戒されているということで、
今までの学習態度は良いものであると思います。
しかし、本問の場合、確かに係数比較の条件が分かりにくいですね。

お礼

やっとこの問題を理解できました
ありがとうございました
大学レベルの知識が必要な問題だったんですね。
ちなみに「お網のですが」は誤字です、ごめんなさいｗ
「思うのですが」と打とうとしたんです。