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行列
行列A |a1 b1 c1| |a2 b2 c2| |a3 b3 c3| の各列ベクトルが線形従属であるとき、|A|=0であることの 証明には、例えば、どのようにしていけばいいのでしょうか? 係数をk1,k2,k3として、 k1a1+k2b1+k3c1=0 k1a2+k2b2+k3c2=0 k1a3+k2b3+k3c3=0 となるk1,k2,k3が0以外に自明な解があると証明するにはどのように すればいいのでしょうか。 |A|=0から逆行列を持たないことが言えるので、それを証明すれば いいのでしょうか。 すみませんが、ご教授お願いします。
- dekao2009
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|a1 b1 c1| |k1| |a2 b2 c2|・|k2|=0 |a3 b3 c3| |k3| |A|=oであれば|A|の逆行列が存在しません。 したがって、そのときは、k1=0、k2=0、k3=0 以外の数が存在し、一次従属となります。 そのときは、ベクトルA,B,Cは同一平面上に存在します。 |A|=0でないときは、k1=0、k2=0、k3=0になりますので ベクトルA,B,Cは一次独立です。
- arrysthmia
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何を証明したいのか、確認しましょう。 |A|=0 ⇒ 逆行列を持たない ⇒ k1,k2,k3が0以外に自明な解がある と示すことはできますが、それでは、目的の定理ではなく、その逆を 証明したことになります。 |A|=0 ⇔ 逆行列を持たない ⇔ k1,k2,k3が0以外に自明な解がある なので、可逆性に配慮した書き方をすれば、それでもいいのですが…
- Tacosan
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「k1=k2=k3=0 以外の非自明解が存在する」ことだけなら「線形従属」で終わりでしょ? そこから |A|=0 の証明に行くなら「非自明解が存在する」ことから行列式をばらしてもいいし, あるいは基本変形を繰り返してもいい.
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すみません、非常に申し訳ないのですが、 > 「非自明解が存在する」ことから行列式をばらしてもいいし 具体的には、どのようにしていくのでしょうか?