行列 合成 積

質問

行列の合成に関して質問させて頂きます。

ある行列を、x軸まわりにθだけ反時計まわりに回転させた行列をM1とします。
そして、x軸の正方向に3だけ移動した行列をM2とします。
ｘ軸まわりにθだけ反時計まわりに回転させたあとx軸正方向に3だけ移動した
行列Mは、
M=M2×M1となります。

なぜ、M1×M2ではなくM2×M1となるのでしょうか？
行列の積が交換法則が常に成り立たない事は理解出来ています。

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2です。

A#2の補足の質問について

>記号について一点わからない点があります。
>転置行列を~（読み：チルダ？）で表現されてますが、~は余因子行列を
>表す記号ではないのでしょうか？

混乱しないようにA#2の中で「~」を「上付きのT」の代わりに『断って（定義して）』使っています。なので、ここでは関係の無い「余因子行列」を持ち込まないようにして下さい。

>>■ベクトルを行ベクトルとして扱う場合は
>> X~,Y1~,Y2~,Y~,N1,N2,NをそれぞれX,Y1,Y2,Y,M1,M2,Mの転置とします。

一文字でベクトルや行列の上付き文字を書けないため、敢えてチルダの記号を使っています。同じ記述を同じ文章の中で定義せずに使えば、混乱すると思いますが、ちゃんと定義して使い、ここではチルダを余因子行列の記号として使っていません。
ここでは、「^T」の記号を使うと式が見づらくなって、かえってわかりづらくなるため、敢えて上付きの一文字で表せる「~」を定義して使っています。ここでの「~」は、手書きする際は上付きのTに置き換えると理解して下さい。

お礼

ご回答ありがとうございました。

補足

ご回答ありがとうございます。
理解しました。お手数をお掛けしました。

お忙しいところ申し訳ないのですが、別質問で数学の変換（写像）について質問させて頂いているのですが、 そちらの方もご回答頂けないでしょうか？
http://okwave.jp/qa/q7082506.html

以上、よろしくお願い致します。

回答No.5

alice_44

その質問へ誘導されたということは、
「合同変換」という言い方がひっかかったかな？
A=PBQ となる正則行列 P, Q が存在することを
「行列 A と B は合同」と言う、そっちの「合同」
のつもりで書いたんだけれど。不用意だったですか。

回答No.3

alice_44

計算の前に、行列を回転させるとか、
行列を平行移動するとかいう言い回しの
意味を確定しないとね。
普通は、そういう言い方はしない。
行列が表す線型変換を回転させるなら、
合同変換だということだから、
行列を右から掛けるとか左から掛けるとかでなく、
両側から行列が掛かる形になるはずだ。

補足

ご回答ありがとうございます。

本質問については理解できました。

別質問で、数学の変換（写像）について質問させて頂いているのですが、
そちらの方もご回答頂けないでしょうか？
http://okwave.jp/qa/q7082506.html

以上、よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_

>M=M2×M1となります。
>なぜ、M1×M2ではなくM2×M1となるのでしょうか？
「×」、「・」の記号はベクトル積や内積の記号と別の意味で使われますので
行列同士の積やベクトルと行列との積は、単に
M=M1*M2 または　単に　M=M1 M2
などと書いた方がいいでしょう。

本題に入ると、
>なぜ、M1×M2ではなくM2×M1となるのでしょうか？
ベクトルを列ベクトルとして扱えば以下のようになってそうなります。

■移動前のベクトルX、移動後のベクトルYを列ベクトルとした場合、移動行列をMとすると
Y=M*X
となります。
Mを回転移動行列M1と並進移動行列M2の合成と考えると
Y1=M1*X
Y2=M2*Y1
回転移動後に並進移動すれば
Y1=M1*X
Y2=M2*Y1=M2*(M1*X)=(M2*M1)*X
Y2=M*Xと置けば
M=M2*M1
となります。

並進移動後、回転移動するなら
Y1=M2*X
Y2=M1*Y1=M1*M2*X=M*X
M=M1*M2
となります。

■ベクトルを行ベクトルとして扱う場合は
X~,Y1~,Y2~,Y~,N1,N2,NをそれぞれX,Y1,Y2,Y,M1,M2,Mの転置とします。
X~,Y1~,Y2~,Y~は行ベクトルになります。
Nを回転移動行列N1と並進移動行列N2の合成と考えると
Y1~=X~*N1
Y2~=Y1~*N2
N1=M1~,N2=M2~
回転移動後に並進移動すれば
Y1~=X~*N1
Y2~=Y1~*N2=(X~*N1)*N2=X~*(N1*N2)
Y2~=N*X~と置けば
N=N1*N2
と列ベクトルとして扱う場合と逆になります。

お分かりでしょうか？

補足

ご回答ありがとうございます。
行列の積に関する疑問は理解できました。

記号について一点わからない点があります。
転置行列を~（読み：チルダ？）で表現されてますが、~は余因子行列を
表す記号ではないのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。

列ベクトル：t(x, y)に作用させていくことを考えると、
自然と右から書くことになるかと・・・。

これでは弱いですか？＾＾；