行列の積の意味

質問

まだ学習し始めたばかりなので用語が間違っているかもしれないのですが、
行列の積の意味はn次元空間上の或る点を別の位置に移す事を表現しているとも考えられる、
と会ったのですが、よくわかりません。
”行列のスカラー倍”の場合はベクトルが移動して拡大という考え方（間違っているかも）で納得したのですが、画像のような場合、a,b,c,dは何を意味するのでしょうか？a=x1,b=x2,c=y1,d=y2
といった感じでしょうか？可視化したものを見てみたいのです。

回答No.3

bgm38489 · ベストアンサー

この場合、X座標とY座標からなる2次元配列（ｘ,ｙ）を移動させることになります。
移動に使われる行列が２×２のものであるため、たとえばX座標の移動にはY座標も関係してくる。即ち、ｘがax+byになるのです。yはcx+dyとなる。即ち、（ｘ,ｙ）が（ax+by,cx+dy)に移動する。
簡単に言えばこういうことです。

お礼

回答ありがとうございます
わかりやすかったです。

回答No.2

ddtddtddt

誤解かも知れませんが「行列の積」の意味が、Aを行列，uをベクトルとしてAuの事だとするなら、普通は「行列とベクトルの積」と呼びます。ベクトルは特殊な行列でもあるんですけれど、主たる用途が違うために普通はこういう言い方をします。

　次にuとAuとの関係ですが、質問文の図のようにはなりません。uとAuは普通の解釈で、「位置ベクトル」と考えてOKです。なので、添付図の左のようになります。

　で、「行列とベクトルの積の意味」ですが、質問の意図としては「ベクトルに対する行列の作用の仕方を可視化（明確化）したい」と受け取れました。それで行列Aの固有ベクトルというものを考えます。

　全てのタイプの行列ではないですが、標準的な行列はみな、平行でない固有ベクトルを必ず2本持ちます。それらをv1，v2とした時、固有ベクトルとはAv1＝α・v1，Av2＝β・v2となるAの成分から決まるベクトルで、αとβはスカラーであり固有値と呼ばれ、αとβもAの成分から決まります。

　ここでAの固有ベクトルv1とv2でuを、u＝s・v1＋t・v2と表せるのはご存知と思います。s，tはスカラーです。何故ならv1とv2がAの成分から具体的に決まるなら、与えられたuに対してu＝s・v1＋t・v2が成り立つように、s，tに関する連立一次方程式を解けば良い訳ですから。

　それが添付図の右です（図中の赤ベクトル）。これは固有ベクトルv1，v2に平行な座標系(X，Y)でuを表したという事です。

　その上で行列Aをベクトルuに作用させます。明らかに、

　　Au＝A(s・v1＋t・v2)＝A(s・v1)＋A(t・v2)＝s・Av1＋t・Av2

です。そしてAv1＝α・v1，Av2＝β・v2なのでした。従って、

　　Au＝s・Av1＋t・Av2＝αs・v1＋βt・v2

になります。それを図化すると、添付図の青ベクトルになります。要するにuは、v1方向にα倍，v2方向にβ倍されるだけです。行列のベクトルに対する作用とは、大雑把に言えばこれだけです。

　この時行列Aは、(X，Y)系で対角行列diag(α，β)と表現されます（diagの意味は、添付図をご覧ください）。行列の固有ベクトルと固有値なんてものを考えるのは、固有ベクトル方向の座標系で考えると、行列の形が無茶苦茶に簡単になり、その作用が一目瞭然になるからです。これを「固有値問題」と言いますが、本質は「行列の標準形を求める」という問題意識です。

　では(X，Y)系で対角行列diag(α，β)と表されたAは、普通の(x，y)系ではどう表現すれば良いのでしょう？。それには座標軸に平行なベクトルの関係を調べれば良いはずです。何故なら同じベクトルuは、(x，y)系でも、

　　u＝x・e1＋y・e2

と表せるからです。もちろんe1＝(1，0)，e2＝(0，1)であり、u＝(x，y)です。

　なので、e1とv1の角度差θ1，e1とv1の長さ比γ1および、e2とv2の角度差θ2，e2とv2の長さ比γ2があれば、(X，Y)系で表現diag(α，β)から出発して、(x，y)系におけるAのあるべき姿を逆算できるはずです。そのためには、θ1，γ1，θ2，γ2と4つのパラメータが必要でした。

　少々面倒くさい計算の後、要するに(θ1，γ1，θ2，γ2)という4つのパラメータに対応する、行列Aの成分(a，b，c，d)は決まります。

お礼

回答ありがとうございます。難しいですね、もう少し勉強してから再度取り組みたいと思います。ありがとうございました

回答No.1

noname#223065

行列の積の演算をよく見てみると、点(x, y)を点(ax+by, cx+dy)に移している、と考えることができます。平面での点を移動させるのが2×2の正方行列だということですね。

　1次元で考えてみましょう。直線があり原点0があるとします（数直線みたいなもの）。点xをaxに移すのはa倍しているというaですね。行列で表せば、[a][x]=[ax]となります。1次元では1×1の行列で点を移動させられるわけです（1×1の行列なので全て正方行列になります）。

　2次元だと2×2の正方行列で点を移動させられるわけで、1次元の場合のaに相当するのが、画像でお示しの行列になります。

　3次元空間でも同じで、3×1の行列で表される点を移せるのが、3×3の正方行列になります。4次元でも5次元でも同様で、正方行列が4×4、5×5と次元の数だけ大きくなるだけのことです。

　しかし、正方行列の各要素に特別な意味はありません。点をどう移したいかによって数値が異なるだけのことです。むしろ、各要素に特別な意味がないからこそ、点の移動のさせ方が自由にできるといってもいいかと思います。

P.S.

　そのうち、「原点の周りを回転させる行列」（ある点が原点からの距離を同じで位置を変える、つまり円を描く）といったものを習うかもしれません。そのような点の移動の仕方に制限がある場合は、正方行列の各要素に具体性が現れますので、意味を見いだせることも出てくるかと思います。

　しかし、お示すのものは「点を動かせますよ」というだけでしかない、言い換えれば自由度が大きいものなので、特に具体的に意味を見いだせないわけです。何でもできる道具については具体的な用途が言えないのと同じようなこと、と申したらいいでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。
何を示すかは自由に変えられる、と云うことですね
詳しく説明してくださりありがとうございます