対称群の直積

質問

対称群の直積

S_m × S_n ⊂ S_(m+n)

となる理由を教えてください．

左辺は S_m の元σと S_n の元のτの組（σ,τ）で，
これがS_(m+n)の元でもあるということですが，
どのように考えればそう言えるのでしょうか？

左辺が組になっているのでよくわかりません．

よろしくお願いします．

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

＞ A⊂B を，「x∈A ⇒ x∈B」といったやり方で示しますが，同じようにして示せるのでしょうか？

そのやり方では、示せません。
というか、そのやり方で示せるような意味で S_m×S_n⊂S_(m+n) が成立する訳ではありません。
S_(m+n) の中に S_m×S_n と同型な部分群があるという意味で S_m×S_n⊂S_(m+n) と書いている
のだと思いますが、その意味でなら成り立ちます。

S_(m+n) が作用する m+n 元の集合を、m 元の A と n 元の B に分割し、
S_(m+n) に属する置換のうち、B の元を動かさないものの集合を F、
A の元を動かさないものの集合を G とします。 このように置くと、
S_m は F と、S_n は G と同型であり、F×G は S_(m+n) の部分群です。

回答No.2

koko_u_u

＞どのように考えればそう言えるのでしょう か？

実際に集合としては別物なので、
それらの間に自然な単射を考える必要があります。

あんまり、自然とは言いづらいかもしれませんが。

回答No.1

alice_44

S(m+n) の元を置換表現してみれば、解ります。

m+n 個の対象に作用する置換のうち、
m+n 個を m 個と n 個の２グループに分けて、
グループ内でのみ置き換え、
グループの境界を跨がない置換が、
S(m)×S(n) を成します。

補足

回答ありがとうございます．

A⊂Bを，「x∈A ⇒ x∈B」といったやり方で示しますが，同じようにして示せるのでしょうか？

同様にやると，直積は元の組なので，
「(σ,τ)∈S(m)×S(n) ⇒ (σ,τ)∈S(m+n)」　（σ∈S(m)，τ∈S(n)）
ですが，これはどう言えるのでしょうか？

S(n)とS(m)の置換の組がm+n個の元の置換であるということを言っているのですよね？
置換の組という表現がどのようなものかわかりません．

すいません．よろしくお願いします．