数学Aの問題です。

質問

数学Aの問題です。

正四面体ＡＢＣＤの頂点間を移動する点Ｘについて、一つの頂点にあるＸは、一秒後には他の3頂点にそれぞれ確率1/3で移動するものとする。

また、Ｘははじめ頂点Ｂにあるものとする。

2秒後、3秒後に、Ｘがはじめて頂点Ｏに到達する確率をそれぞれ求めよ。

式は分かってるのですが、どうしてそうなるのか分かりません(涙)教えて下さい！

式…2/3×1/3=2/9
2/3×2/3×1/3=4/27

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

二秒後にＸが初めてＯに達するということは
Ｂ→Ｏ以外のどこか→Ｏ
という経路をたどるということです。一個目の→では選択肢がＡ，Ｂ,Ｏの三つのうちＡまたはＢに行く確率なので２／３、二個目の→は三つある選択肢のうちＯに行く確率なので１／３。よって求める確率は２／３＊１／３です。

三秒後の場合は
Ｂ→Ｏ以外のどこか→Ｏ以外のどこか→Ｏ
という経路なので一個目と二個目の→は上記同様それぞれ２／３の確率、三個目の→は上記同様１／３。よって求める確率は２／３＊２／３＊１／３です。

お礼

回答ありがとうございました!!

助かりました(^^)

補足

回答ありがとうございました(^^)
付け加えるのを忘れていたのですが、4秒後はどういう風に考えれば良いのでしょうか。

できれば教えて下さいm(__)m

回答No.3

alice_44

n 秒後に Ａにある確率を a[n]、Ｂにある確率を b[n]、
Ｃにある確率を c[n]、Ｄにある確率を d[n] と置く。

対称性より、a[n] = c[n] = d[n] = (1 - b[n])/3 となる。
また、b[0] = 1 である。

漸化式
a[n+1] = (1/3) b[n] + (1/3) c[n] + (1/3) d[n],
b[n+1] = (1/3) a[n] + (1/3) c[n] + (1/3) d[n],
c[n+1] = (1/3) a[n] + (1/3) b[n] + (1/3) d[n],
d[n+1] = (1/3) a[n] + (1/3) b[n] + (1/3) c[n]
を整理して、
b[n+1] = (1 - b[n])/3。

これを
b[n+1] + c = (-1/3)(b[n] + c)
と変形してみたくなり、式を展開比較して、
c = -1/4。
よって、
b[n] - 1/4 = (b[0] - 1/4)(-1/3)^n。
すなわち、
b[n] = 1/4 + (3/4)(-1/3)^n。

補足質問は、a[4], b[4], c[4], d[4] の値を訊いている。

お礼

詳しくありがとうございました!!

ようやく理解できましたm(__)m

回答No.2

gohtraw

四秒後の場合は
Ｂ→Ｏ以外のどこか→Ｏ以外のどこか→Ｏ以外のどこか→Ｏ
という経路になります。二秒後、三秒後と比較すると、「→Ｏ以外のどこか」という移動が一つずつ増えていることが判ります。

二秒後：Ｂ→Ｏ以外のどこか→Ｏ
三秒後：Ｂ→Ｏ以外のどこか→Ｏ以外のどこか→Ｏ
四秒後：Ｂ→Ｏ以外のどこか→Ｏ以外のどこか→Ｏ以外のどこか→Ｏ

「→Ｏ以外のどこか」という移動は確率２／３なので、四秒後は三秒後の確率に２／３をかけたものになります。

お礼

詳しくありがとうございました(^^)!!

理解できましたm(__)m