大学受験の数学(確率)の問題です。

質問

大学受験の数学(確率)の問題です。

次にあげる問題についてです。(1)(2)は解けたのですが、(3)が解けませんでした。自分でいろいろ考えたり、参考書を調べたりしましたが、お手上げとなってしまいました。よろしければ、(3)の解答をしていただけたらと思います。よろしく願いいたします。

問題
正方形の頂点を順にＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄとし、この順を正の向きとし、逆を負の向きとする。動点Ｐは常に頂点にあり、１秒ごとに次の頂点に移っていく。このとき、正の向きに次の頂点に移る確率は2/3で、逆の負の向きに次の頂点に移る確率は1/3とする。また、動点Ｐは最初頂点Ａにあるものとする。

(1)　２秒後に動点が頂点Ａ，Ｃにある確率をそれぞれ求めよ。　　
(2) ３秒後に動点Ｐが頂点Ｂ，Ｄにある確率をそれぞれ求めよ。　　　　
(3)　４以上の自然数ｎに対して、ｎ秒後に動点Ｐが各頂点にある確率をそれぞれ求めよ。

正解：(1)順に4/9,5/9　(2)順に13/27,14/27　
(3)ｎが奇数のとき、順に
　　0、1/6｛3＋(-1/9)の[(n-1)/2]乗｝、0、1/6｛3－(-1/9)の[(n-1)/2]乗｝
　　ｎが偶数のとき、順に
　　1/2｛1＋(-1/9)の[n/2]乗｝、0、1/2｛1－(-1/9)の[n/2]乗｝、0

確率が０になるのは分かります。また、それぞれにおいて、残りの２つを合計すると１になるので、一方が求まれば、もう一方も必然的に求まるのは分かります。しかし、その一つの求め方が分かりません。
よろしくお願いします。なお、指数の表し方が分かりにくくなってしまっていますが、ご容赦頂きたいと思います。

回答No.1

nattocurry · ベストアンサー

2秒後に同じ頂点にいる確率は4/9、2秒後に対角にいる確率は5/9です。
ということは、2秒前に同じ点にいた確率が4/9で、2秒前に対角にいた確率が5/9ということです。
つまり、今その頂点にいる確率は、2秒前に同じ頂点にいた確率×4/9＋2秒前に対角にいた確率×5/9　ということになります。
また、2秒前に対角にいた確率は、2秒前に同じ頂点にいた確率を１から引いたものです。

それぞれの点において、n回目の確率をp[n]とすると、

p[n] = p[n-2]*4/9 + (1-p[n-2])*5/9
p[n] = 5/9 - 1/9*p[n-2]
p[n] + 1/9*p[n-2] = 5/9

の関係が成り立ちます。

ここから先は、奇数回目と偶数回目に分けて考えましょう。

そして、ここから先の計算は、数列を勉強していた頃から20年以上経った私には計算できません。

お礼

nattocurry様

遅くなって申し訳ありません。

解り易い解説をしていただき、考え方が解りました。それを元に解きましたら、無事解くことができました。たいへん助かりました。このたびは、ありがとうございました。

できましたら、今後もよろしくお願いします。

回答No.3

muturajcp

動点Pがn秒後にA,B,C,Dにある確率をa_n,b_n,c_n,d_nとすると
a_0=1,b_0=0,c_0=0,d_0=0
(b_1)=(2/3,1/3)(a_0)
(d_1).(1/3,2/3)(c_0)
(a_2)=(1/3,2/3)(b_1)=(1/3,2/3)(2/3,1/3)(a_0)=(4/9,5/9)(a_0)
(c_2).(2/3,1/3)(d_1).(2/3,1/3)(1/3,2/3)(c_0).(5/9,4/9)(c_0)
(b_n)=(2/3,1/3)(a_{n-1})
(d_n).(1/3,2/3)(c_{n-1})
(a_n)=(1/3,2/3)(b_{n-1})
(c_n).(2/3,1/3)(d_{n-1})
(a_{n+1})=(1/3,2/3)(2/3,1/3)(a_{n-1})=(4/9,5/9)(a_{n-1})
(c_{n+1}).(2/3,1/3)(1/3,2/3)(c_{n-1}).(5/9,4/9)(c_{n-1})
(b_{n+1})=(2/3,1/3)(1/3,2/3)(b_{n-1})=(4/9,5/9)(b_{n-1})
(d_{n+1}).(1/3,2/3)(2/3,1/3)(d_{n-1}).(5/9,4/9)(d_{n-1})
n=2kのとき
(a_n)=(4/9,5/9)^k(1)
(c_n)=(5/9,4/9)..(0)
=(1/√2,-1/√2)(1, 0 )( 1/√2,1/√2)(1)
.(1/√2, 1/√2)(0,(-1/9)^k)(-1/√2,1/√2)(0)
a_n=(1/2){1+(-1/9)^k}
c_n=(1/2){1-(-1/9)^k}
b_n=0
d_n=0
n=2k+1のとき
(b_n)=(2/3,1/3)(a_{2k})
(d_n).(1/3,2/3)(c_{2k})
=(2/3,1/3)((1/2){1+(-1/9)^k})
.(1/3,2/3)((1/2){1-(-1/9)^k})
b_n=(1/6){3+(-1/9)^k}
d_n=(1/6){3-(-1/9)^k}
a_n=0
c_n=0

お礼

muturajcp様

実際に解いて詳しい解答を示していただいて、ありがとうございます。

自分で解いた解答(他の方の道筋を参考にした上ですが)と比べて、模範解答として参考にさせていただきたいと思います。

ありがとうございました。今後も、よろしくお願いします。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

何年か前にあった入試問題ですよね。
#1さんも書かれていますが、ひとまず各頂点にある確率をa(n), b(n), c(n), d(n)として漸化式を考えてみてください。

そのとき、
・初項に対する条件（n＝ 1や n＝ 2のときの値）を整理しておいて、
・nが偶数 or 奇数の場合分けをして、
・n-2回目→ n-1回目→ n回目の遷移（移動していく様子）とその確率を図示する

をしてみてください。

最終的には、これらから漸化式を書きあげて解くことになります。

あと、このような確率の漸化式を伴う問題では、確率の極限値や期待値の極限値（n→ ∞としたときの値）を問う問題もよく出されます。

お礼

naniwacchi様

遅くなって申し訳ありません。

考え方を示していただき、ありがとうございました。
ご指導していただいたとおり、漸化式を作って解いてみたところ、解決することができました。

ありがとうございました。今後もよろしくお願いします。