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解決済み

大学受験の数学(確率)の問題です。

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お礼率 89% (26/29)

大学受験の数学(確率)の問題です。

次にあげる問題についてです。(1)(2)は解けたのですが、(3)が解けませんでした。自分でいろいろ考えたり、参考書を調べたりしましたが、お手上げとなってしまいました。よろしければ、(3)の解答をしていただけたらと思います。よろしく願いいたします。

問題
正方形の頂点を順にA,B,C,Dとし、この順を正の向きとし、逆を負の向きとする。動点Pは常に頂点にあり、1秒ごとに次の頂点に移っていく。このとき、正の向きに次の頂点に移る確率は2/3で、逆の負の向きに次の頂点に移る確率は1/3とする。また、動点Pは最初頂点Aにあるものとする。

(1) 2秒後に動点が頂点A,Cにある確率をそれぞれ求めよ。  
(2) 3秒後に動点Pが頂点B,Dにある確率をそれぞれ求めよ。    
(3) 4以上の自然数nに対して、n秒後に動点Pが各頂点にある確率をそれぞれ求めよ。

正解:(1)順に4/9,5/9 (2)順に13/27,14/27 
(3)nが奇数のとき、順に
  0、1/6{3+(-1/9)の[(n-1)/2]乗}、0、1/6{3-(-1/9)の[(n-1)/2]乗}
  nが偶数のとき、順に
  1/2{1+(-1/9)の[n/2]乗}、0、1/2{1-(-1/9)の[n/2]乗}、0

確率が0になるのは分かります。また、それぞれにおいて、残りの2つを合計すると1になるので、一方が求まれば、もう一方も必然的に求まるのは分かります。しかし、その一つの求め方が分かりません。
よろしくお願いします。なお、指数の表し方が分かりにくくなってしまっていますが、ご容赦頂きたいと思います。
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  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 31% (587/1852)

2秒後に同じ頂点にいる確率は4/9、2秒後に対角にいる確率は5/9です。
ということは、2秒前に同じ点にいた確率が4/9で、2秒前に対角にいた確率が5/9ということです。
つまり、今その頂点にいる確率は、2秒前に同じ頂点にいた確率×4/9+2秒前に対角にいた確率×5/9 ということになります。
また、2秒前に対角にいた確率は、2秒前に同じ頂点にいた確率を1から引いたものです。

それぞれの点において、n回目の確率をp[n]とすると、

p[n] = p[n-2]*4/9 + (1-p[n-2])*5/9
p[n] = 5/9 - 1/9*p[n-2]
p[n] + 1/9*p[n-2] = 5/9

の関係が成り立ちます。

ここから先は、奇数回目と偶数回目に分けて考えましょう。

そして、ここから先の計算は、数列を勉強していた頃から20年以上経った私には計算できません。
お礼コメント
TIENT

お礼率 89% (26/29)

nattocurry様

遅くなって申し訳ありません。

解り易い解説をしていただき、考え方が解りました。それを元に解きましたら、無事解くことができました。たいへん助かりました。このたびは、ありがとうございました。

できましたら、今後もよろしくお願いします。
投稿日時 - 2010-09-27 11:21:38
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  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 47% (942/1969)

こんにちわ。 何年か前にあった入試問題ですよね。 #1さんも書かれていますが、ひとまず各頂点にある確率をa(n), b(n), c(n), d(n)として漸化式を考えてみてください。 そのとき、 ・初項に対する条件(n= 1や n= 2のときの値)を整理しておいて、 ・nが偶数 or 奇数の場合分けをして、 ・n-2回目→ n-1回目→ n回目の遷移(移動していく様子)とその確率を図示する をしてみ ...続きを読む
こんにちわ。

何年か前にあった入試問題ですよね。
#1さんも書かれていますが、ひとまず各頂点にある確率をa(n), b(n), c(n), d(n)として漸化式を考えてみてください。

そのとき、
・初項に対する条件(n= 1や n= 2のときの値)を整理しておいて、
・nが偶数 or 奇数の場合分けをして、
・n-2回目→ n-1回目→ n回目の遷移(移動していく様子)とその確率を図示する

をしてみてください。

最終的には、これらから漸化式を書きあげて解くことになります。

あと、このような確率の漸化式を伴う問題では、確率の極限値や期待値の極限値(n→ ∞としたときの値)を問う問題もよく出されます。
お礼コメント
TIENT

お礼率 89% (26/29)

naniwacchi様

遅くなって申し訳ありません。

考え方を示していただき、ありがとうございました。
ご指導していただいたとおり、漸化式を作って解いてみたところ、解決することができました。

ありがとうございました。今後もよろしくお願いします。
投稿日時 - 2010-09-27 11:26:01


  • 回答No.3
レベル12

ベストアンサー率 77% (407/524)

動点Pがn秒後にA,B,C,Dにある確率をa_n,b_n,c_n,d_nとすると a_0=1,b_0=0,c_0=0,d_0=0 (b_1)=(2/3,1/3)(a_0) (d_1).(1/3,2/3)(c_0) (a_2)=(1/3,2/3)(b_1)=(1/3,2/3)(2/3,1/3)(a_0)=(4/9,5/9)(a_0) (c_2).(2/3,1/3)(d_1).(2/3,1/3)(1/3,2/ ...続きを読む
動点Pがn秒後にA,B,C,Dにある確率をa_n,b_n,c_n,d_nとすると
a_0=1,b_0=0,c_0=0,d_0=0
(b_1)=(2/3,1/3)(a_0)
(d_1).(1/3,2/3)(c_0)
(a_2)=(1/3,2/3)(b_1)=(1/3,2/3)(2/3,1/3)(a_0)=(4/9,5/9)(a_0)
(c_2).(2/3,1/3)(d_1).(2/3,1/3)(1/3,2/3)(c_0).(5/9,4/9)(c_0)
(b_n)=(2/3,1/3)(a_{n-1})
(d_n).(1/3,2/3)(c_{n-1})
(a_n)=(1/3,2/3)(b_{n-1})
(c_n).(2/3,1/3)(d_{n-1})
(a_{n+1})=(1/3,2/3)(2/3,1/3)(a_{n-1})=(4/9,5/9)(a_{n-1})
(c_{n+1}).(2/3,1/3)(1/3,2/3)(c_{n-1}).(5/9,4/9)(c_{n-1})
(b_{n+1})=(2/3,1/3)(1/3,2/3)(b_{n-1})=(4/9,5/9)(b_{n-1})
(d_{n+1}).(1/3,2/3)(2/3,1/3)(d_{n-1}).(5/9,4/9)(d_{n-1})
n=2kのとき
(a_n)=(4/9,5/9)^k(1)
(c_n)=(5/9,4/9)..(0)
=(1/√2,-1/√2)(1, 0 )( 1/√2,1/√2)(1)
.(1/√2, 1/√2)(0,(-1/9)^k)(-1/√2,1/√2)(0)
a_n=(1/2){1+(-1/9)^k}
c_n=(1/2){1-(-1/9)^k}
b_n=0
d_n=0
n=2k+1のとき
(b_n)=(2/3,1/3)(a_{2k})
(d_n).(1/3,2/3)(c_{2k})
=(2/3,1/3)((1/2){1+(-1/9)^k})
.(1/3,2/3)((1/2){1-(-1/9)^k})
b_n=(1/6){3+(-1/9)^k}
d_n=(1/6){3-(-1/9)^k}
a_n=0
c_n=0
お礼コメント
TIENT

お礼率 89% (26/29)

muturajcp様

実際に解いて詳しい解答を示していただいて、ありがとうございます。

自分で解いた解答(他の方の道筋を参考にした上ですが)と比べて、模範解答として参考にさせていただきたいと思います。

ありがとうございました。今後も、よろしくお願いします。
投稿日時 - 2010-09-27 11:32:10
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