確率の問題

質問

確率の問題　２問質問させてください。
1.　正五角形ＡＢＣＤＥの１つの頂点にある動点Ｐは、等しい確率1/4で他の4つの頂点のどれかに移動する。頂点Ａから出発した点Ｐが、１回頂点Ａを通ってから、４回目に再び頂点Ａに戻る確率を求めよ。　答1/16
２．　実力の同じＡ、Ｂが試合を行い、先に４勝した者を優勝とする。最初の２回の試合はともにＡが勝った。この後試合を続けた時、Ａが優勝する確率を求めよ。　答　13/16
答までうまくたどり着けません。よろしくご指導をお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

１．
＞１回目で動点PがB、C、D、Eのいずれかに移動する確率は１。
４回目にAに戻るためには３回目にはB、C、D、Eのいずれかに
移動しなければならず、かつ、再び頂点Ａに戻る前に頂点Ａ
を通るためには２回目でAに移動しなければならない。
B、C、D、Eのいずれかから２回目にAに移動する確率は１/４。
Aから３回目にB、C、D、Eのいずれかに移動する確率は１。
４回目にB、C、D、EのいずれかからAに移動する確率は１/４。
従って、求める確率は１×１/４×１×１/４＝１/１６.
２．
＞実力の同じA、Bなので、１回の試合でAが勝つ(Bが負ける)
確率は１/２、その逆も１/２、引き分けは無いものとする。
このあとBが優勝するには
(ア)Bの４連勝
又は
(イ)Bが３勝１敗で５試合目にBが勝つ
の２通り。
(ア)の確率は(1/2)^4=1/16
(イ)の確率は、まず、４試合でBが３勝する確率=(4C3)*(1/2)^4
=4/16=1/4
これに５試合目でBが勝つ確率1/2をかけて(1/4)*(1/2)=1/8
(ア)の確率と(イ)の確率を加えて、Bが優勝する確率は
(1/16)+(1/8)=3/16
これを１から引いて
Aが優勝する確率=1-3/16=13/16となります。

お礼

詳しい説明をいただきまして誠にありがとうございました。この未熟者の私にも、よく分かりました。
１．１回目で動点PがB、C、D、Eのいずれかに移動する確率は１。Aから３回目にB、C、D、Eのいずれかに移動する確率は１。ということが読み取れませんでした。私にはとても難しい発想です。２．３試合目以降にＡが勝つ組み合わせを場合分けして、計算して算出しました。でもなるほど余事象を考えて計算する方が場合分けが１つ少なくなり、楽なのですね。よく分かりました。どうもありがとうございました。

回答No.3

naniwacchi

#1です。

すでに#2さんが書かれているとおり、2回目に点Aを通ることになります。
1回目→2回目→3回目→4回目と順に掘り進めていく考え方を通常しがちですが、
1回目→2回目←3回目←4回目と途中まで逆に掘り進めていく考え方をしています。。

数学の問題では、ときにこういう考え方で「トンネルを貫通」させることもあります。

お礼

ヒント、アドバイスをどうもありがとうございました。とても参考になりました。でも確率の問題は発想が難しいですね。なかなか慣れません。

回答No.1

naniwacchi

こんばんわ。
2問とも同じような考え方を使うことになりそうです。

【１．正五角形】
一度、頭の中でシミュレーションをしてみてください。
点Ａからスタートですから、1回目の移動の後に動点が点Ａにいることはありません。
この要領で 4回目まで考えてみると、「1回頂点Ａを通っ」たときが何回目かが確定します。
計算自体は、答えからもだいたい想像がついているかと思います。

【２．先に4勝】
すでに「第2試合」までは終わっているので、この後のことだけ考えます。
先に4勝すれば優勝といえば「○○シリーズ」ですが、
引き分けがない限り第何戦までありますか？
限りなく試合をし続けるわけではありません。
あとは、第何戦まで続いたかの場合分けで、ＡとＢの星取り（勝敗）を考えていきます。

過去にも「○○シリーズ」の問題は、何度か質問に上がっているので検索してみてもいいかと。

補足

お陰様で、「先に４勝」の方は頂いたヒントで答に達することができました。正五角形はダメです。
何とかもう少しヒントが頂けると助かります。動点は１回目のＡ点通過後、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅの４点のどれかに飛ぶ　ということだと思いますが、「4回目まで考えてみると、「1回頂点Ａを通った」ときが何回目かが確定します。」というアドバイスも私にはよく分からないのです。もう少し御説明頂けると助かります。どうぞよろしくお願いします。