確率 （粒子が四面体を進む）の問題

質問

「１辺の長さが１の正四面体ABCDの辺上を、いくつかの粒子が次の規則にしたがって毎秒１の速さで運動している
規則１：各粒子は辺の途中で向きを変えることはなく、ある頂点を出発した粒子はちょうど１秒後に別の頂点に達する。
規則２：各粒子は頂点に達するとその頂点を端点とする３辺のいずれかにそれぞれ確率1/3で進む
規則３：粒子同士は辺の途中で正面衝突しても互いにすり抜けてそのまま進むが、同一頂点に2個以上の粒子が同時に達するとそれらは瞬時に合体し以後は1個の粒子として運動する
今、ちょうど3個の粒子が存在し、それぞれ頂点ABCに同時に達したところである。（n+0.1)秒後にちょうどｋ個の粒子が存在する確率をPk(n)とするとき以下の問いに答えよ
(1)P1(1)、P2(1)、P3(1)を求めよ
(2)ちょうどｎ秒後に粒子が3個から2個になる確率Q(n)を求めよ。
(3)P2(n)、P1(n)を求めよ」

という問題を解いています。
こういう確率の問題は学校でやったことがなく、初めてなのでなんだか難しいです。
３つの粒子を同時に動かすのを考えるのが大変です。
それぞれ「次はこの点に動く」とか考えると場合分けがありすぎるような気がするのですが、何かうまい方法はあるのでしょうか？
教えていただければありがたいです。宜しくお願いします

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

各頂点は自分がいる場所以外の３頂点のいずれかに移動するので、はじめ３つの粒子があった場合の、１秒後（移動後、合体直前）の状態はたかだか２７通り（同様に確からしい）となります。書き下してみてはいかがでしょう？

また、P2(1)は、３つのうち２つが
・移動前に粒子のない頂点で衝突する場合
・移動前に粒子のある頂点で衝突する場合
のそれぞれに場合分けして考えても、求めることができます。

ちなみに、P2(1)=15/27と思われます。

回答No.2

at9_am

全部答えるとルール違反になりますので、概略だけです。

おそらく「(n+0.1)秒後にちょうどｋ個の粒子が存在する確率」ではなく「n 秒後にちょうどｋ個の粒子が存在する確率」だと思うので、そのつもりで回答します。
因みに、(n+0.1)秒後だとそれ以前の情報(具体的には直近の各頂点を出発した瞬間の情報)によってのみ書かれてしまうので面白くありませんし、(n+1)秒後と n 秒後は最初を一秒とするか０秒とするかという違い程度で全く同じになります。

(1)
P1(1)は一秒後に全ての点が同じ頂点に行っているわけですから、
P1(1) = (1/3)^3 = 1/27
になります。
P2(1)やP3(1)も同様の方法で解くことが出来ます。

(2)Q(n)は(n-1)秒後に 3 個 → n 秒後に 2 個になることから、P3(n-1)がわかれば簡単に計算できます。

(3)上記から、計算できますので、自分で計算してください。というか、場合分けといっても前期の状況はその粒子数のみで記述できるので、この程度の場合分けは難しくないはずです。

補足

回答ありがとうございます
P2(1)=43/54
P3(1)=1/6
になってしまったのですが
あっているのでしょうか

回答No.1

danishloaf

そのまんまの回答禁止なので・・・
１）　Ｐ１（１）がまず簡単に求められます。次にＰ３（１）を計算して、Ｐ２（２）は余事象です。
２）n-1秒後の条件を考えればすぐ分かります。
３）P3(n)は簡単にもとまるので、それと（１）、（２）の結果を有効利用すると分かります。
「次はこの点に動く」という考えは間違えではありません。粒子の数だけが問題なので、一個の粒子を基準にして場合分けしたほうがよさそうです。
たとえば、P３(1)を求めるとき、ある粒子（たとえば頂点Aの粒子）は
・頂点D（前に粒子がなかった点）に移動したか、
・頂点BかC（前に粒子があった点）に移動したかを考えて場合分けすると一発です。