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数学の問題：一般性を失わないとは？
- 数学の問題でたまに出てくる「一般性を失わない」という表現について説明します。
- 一般性を失わないとは、問題の解答において特定の条件を仮定しても一般的な解答が成り立つことを意味します。
- 一般性を失わない前提は、解答の正当性を示すために必要な情報であり、問題作成や解答作成においても意識すべきです。
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＞「一般性を失わない」を使うと、名のある定理だけでなく、他の命題を当たり前の事実として 言い表すことになります それは違う．ほかの命題を使うならその旨を書くか あまりにも当たり前ならそのままスルーすればいい． 例えば，ベクトルの長さを考えるのにいちいち「三平方の定理より」とか いわないでしょう？ 「一般性を失わない」というのは 一見複雑もしくは一般的な状況下の問題だけども， 実は特定の条件下で解いても（本質的には）同じであるときに 使う言葉です． 例えばこういう問題． (1/x)+(1/y)+(1/z)=1 を満たす自然数の組(x,y,z)を全て求めよ この問題は，x,y,zの対称性と自然数であることから 1<=x<=y<=z と仮定しても「一般性を失わない」のです． 要求されているのは単なる「自然数の組(x,y,z)」なのに 実際は「大小関係があると勝手に仮定して」も 最後に並び替えて答えを全部出せばよいだけだから 「仮定しても一般性を失わない」のです． 「一般性を失わない」ときは 明らかなときはただ「一般性を失わない」ですが 大抵の場合は「何々だから」一般性を失わないという説明が必要です． これも論証の一部ですから どうして一般性を失わないで勝手に条件を追加できるのかは 記述しておくほうが間違いないです．
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- FT56F001
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「一般性を失わない」という言葉がどういう場面で使われるのか，というと， #3さんが書いてられるように， 「クソマジメにやると，いろいろ場合分けしなければいけないのだけれど， 記号の付け方などを工夫すると，一つの場合に限定して構わない。」 という場合が多いです。 質問者さんの問題の場合だと， 1) 三角形の頂点PQRのすべてを，正方形の頂点ABCDから距離1以上離れて置くことは出来ない。 なぜなら，PQRは正方形ABCDの周を３等分するのだから，PQR間の(正方形の周に沿った)距離は4離れているから。 2) だとすると，PQRのうち，どれかはABCDとの距離が1以下になる。 クソマジメにやろうとすると，場合わけが必要になる。 PがAに近い場合，QがAに近い場合，・・・，QがAに近い場合，・・・を全部考えなければなりません。 うーん，これでは面倒くさい，困った。 3) しかし，ここで，PQRの名前の付け方， ABCDの名前の付け方を入れ替えて，近い点をAとPとしましょう。 必要なら図面を裏返しにして，PはAとBの間にあることにしましょう。 そうすれば，いちいち場合分けしなくたっていいじゃないか! (インチキしたのではなく，単に点の名前を付け替えるだけです) これだけ考えた上で， 「点Pが線分AE上にあるとしても一般性を失わない。」 という言葉が書かれています。
お礼
質問の問題を例にわかりやすい解説ありがとうございます☆ 「一般性を失わない」という言葉は対称性に着目し、それを見抜いた上で解いているよ、っていう採点者へのアピールってことですね
- hrsmmhr
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教科書や、問題集では、その学習課目でフォーカスされてなくて、若干面倒で説明を省略したいときに よく使ってあります。 本来は全部説明すべきですが、分量の関係とそこで教えたいことをはっきりさせるためにやっていると思います 試験などでも定理は、それそのものを問われていなければ、証明されているものとして使いますが 「一般性を失わない」を使うと、名のある定理だけでなく、他の命題を当たり前の事実として 言い表すことになります しかし、こちらが勝手にこちらが決めているため もちろんそれそのものが問われているときには、出題側も許すわけがなく そうでなくても一般的でないと思われれば減点されます 従って受験者が勝手に書いてしまうのはリスキーだと思います
お礼
＃１さんもおっしゃってたように、「一般性を失わない」という言葉は解答を短くするために使うんですね うーん…やっぱり問題こなすのがいちばんなんでしょうね（＾＾；）
「盛り込むべき」ということはありませんけれど、「一般性を失わない」を使うのが有効な場面ならば、大概問題が単純化され、それに伴い解答文が短くなり、間違いを犯しにくくなるはずですから、わざわざ使わない手はありません。 場合によってはそうやって単純化しないとうまく処理できない場合があります。その場合は「一般性を失わない」というフレーズを使わないからという理由ではなく、単に問題が解けなかったという意味で減点になるでしょう。 推論が複雑になったり長くなったりするだけで、解けるのであれば、減点されるのはおかしいです。ただ、余分な考察をしなければならなくなって試験中だと時間が足りなくなって他の問題が解けなくなっちゃうかもしれません。
お礼
なるほど、単純化するために使う、ということなんですね 問題こなしてそれを見抜けるようにした方がよさそうですね…；
お礼
なるほど！わかりやすい例とともに説明してくださってありがとうございます☆ 今回の問題ではP,Q,Rが、入れ替えても対称性があるから…ってことなんですね？ まだ「一般性を失わない」という説明に慣れてないので問題こなして思考力・記述力共に磨いていきたいとおもいます（*＾＾*）