数学の問題でわからないところがあるのですが

質問

数学の問題でわからないところがあるのですが
先生等おらず独学でしているのでだれか解説できるかたがいましたらおねがいします
問
次の極限値を求めよ。(画像がひどいですが指数はすべて2です)

質問したい部分
∴のあとに分子にｎがでてきていることと、Σがでてきていることと、一番小さい数の分母が2n二乗に
なっているとはどのような理屈でなったのでしょうか。

回答No.3

girlkeeper

＃１です。訂正事項。

誤：3行目の右は１／（ｎ^2＋ｎ）なので、やはりｋを１からｎまで変化させても変わらない。
正：２行目の右は１／（ｎ^2＋ｎ）なので、やはりｋを１からｎまで変化させても変わらない。

さて本題。
＞最小の部分　2n＾二乗　がでてきた理由・・・

　ｎ／（ｎ^2＋ｎ）　・・・（＊）
これの、分母の右にあるｎをｎ^2に置き換えたから。置き換えると
　ｎ／（ｎ^2＋ｎ^2）
となって
　ｎ／（２×ｎ^2）＝ｎ／（２ｎ^2）

ｎが２よりも大きければ、ｎ／（ｎ^2＋ｎ）＞ｎ／（ｎ^2＋ｎ^2）なので
　ｎ／（ｎ^2＋ｎ）＞ｎ／（２ｎ^2）
となる（ｎ→∞とするので、ｎ＜ｎ^2としてもかまわない）

では、なぜ置き換えたか。できるだけ式を簡単にしたかったから（だと思う）。
　ｎ／（２ｎ^2）＝１／（２ｎ）
なので、ｎ→∞とすれば０になる。

※前回の繰り返しなのですが、こんな置き換えをしなくても、
　ｎ／（ｎ^2＋ｎ）＝１／（ｎ＋１）
としてｎ→∞とすれば十分だと思う。

お礼

すっきりしました！ありがとうございました！
これからも数学がんばります！！

回答No.2

OKXavier

２行目の不等式の各辺にΣ[k=1～n]を付けたものが
第３行目の式にあたります。

このとき、第２項（真ん中の式）で、n→∞　とした
ものが、問題の部分になる。

分子にnがつく理由は、

Σ[k=1～n](kに関係ない式)=n×(kに関係ない式)

が成り立つからです。
因みに、Σ[k=1～n]1=n 　１をｎ個足したもの　になります。

補足

みなさんのおかげで分子にn、Σがでてきた理由まで、わかったのですが
最小の部分　2n＾二乗　がでてきた理由だけがわからないです
よろしければもう少しおねがいできませんか
お手数かけて本当にすいません

回答No.1

girlkeeper

まず、1行目のlimの後のカッコ内が、Σ(k=1～ｎ)１／（ｎ^2＋ｋ）　・・・★
になる、つまり３行目の左から1番目の＞と2番目の＞に挟まれた部分になるのは分かりますか？
（前後しますが）これがΣが出てくる理由です。

2行目は、1行目のlimの後のカッコ内の項ひとつ一つに注目して、これらがいずれも１／ｎ^2より小さく、１／（ｎ^2＋ｎ）よりも大きいことを示しています。

この２行目の真ん中を、そのｋを１からｎまで変化させつつ加えたのが★になります。
これを２行目の全体について行ないます。

２行目の左は１／ｎ^2なので、ｋを１からｎまで変化させても変わらない（ｋがないので）。
よってｎ倍するだけでいいことになり、ｎ／ｎ^2
これが分子にｎが出てくる理由。

3行目の右は１／（ｎ^2＋ｎ）なので、やはりｋを１からｎまで変化させても変わらない。
よってｎ倍してｎ／（ｎ^2＋ｎ）でいいんだけど、計算を簡単にするために、分母の右にあるｎをｎ^2に替えただけでしょう（ｎ→∞とするのでｎよりｎ^2の方が大きいとしていい）。

このあと、ｎ→∞にすると、3行目の一番左にあるｎ／ｎ^2（＝１／ｎ）が０になり、一番右にあるｎ／（２ｎ^2）も０になるので、これらに挟まれた★も０になる～と解法が続くはずです（挟み撃ちの原理）

余計なことを言えば、最後の「ｎをｎ^2に替えた」行程は不要だと思います。私ならｎ／（ｎ^2＋ｎ）＝１／（ｎ＋１）で、ｎ→∞で０になる～とします。

補足

みなさんのおかげで分子にn、Σがでてきた理由まで、わかったのですが
最小の部分　2n＾二乗　がでてきた理由だけがわからないです
よろしければもう少しおねがいできませんか
お手数かけて本当にすいません