極限を求める問題。

質問

極限を求める問題。

分数で、
（分子）＝（ｎ+１）2乗+（ｎ+２）2乗+（ｎ+３）2乗+・・・・・・+（２ｎ）2乗
（分母）＝１2乗+２2乗+３2乗+・・・・・・+ｎ2乗

ちょっと分かりにくい書き方ですみません。分数や2乗の表現をどうしたらいいか分からなかったもので。。

で、この場合、分母は1/6ｎ（ｎ+1）（2ｎ＋1）にすればいいだろうと推測したのですが、分子はどうすればいいのでしょうか？
ｎ2乗＋２ｎｋ＋ｋ2乗として、変形していけばいいのでしょうか？

ちなみに、答えは７です。

よろしくお願いします。

回答No.4

yespanyong · ベストアンサー

No.3です。「暗算レベル」で計算するにはちょっとはしょりすぎました。

No.1さんの表現を借りれば、元の式は
　　[S(2n)-S(n)]/S(n)
となります。ここで
　　S(n)=1/6 n(n+1)(2n+1)
　　　　=(2n^3 + 3n^2 + n)/6
ですが、n→∞の場合はn^3の項以外を無視できるので、その無視できる部分をαとして、
　　S(n)=1/3 n^3 + α
元の式に代入して無視できるαを消して、n^3の係数1/3も分子分母で消えるので、結局n→∞のときの与式は
　　[S(2n)-S(n)]/S(n)
　　=[(2n)^3 - n^3] / n^3
　　=[8n^3 - n^3] / n^3
　　= 7n^3 / n^3
　　= 7
となります。

お礼

再度のご回答ありがとうございます。すっきりしました。ありがとうございました。

回答No.3

yespanyong

ｎ→∞の場合の極限値ですね。

分子の値はすでに出ている通りで、そこまでわかれば実際の計算は最高次であるn^3の項だけ考えればいいので、答えは

[(2n)^3 ー n^3] / n^3 ＝ 7

と暗算レベルで導き出せます。

お礼

ごめんなさい、よく分かりません。暗算レベル、ということはほぼ計算せずに解答できるということですよね？　２ｎの３乗？？どうしてこうなるのかよく分かりません（涙）

回答No.2

alice_44

そうしてもいいけど、
(1/6)(2n)(2n+1)(4n+1) - (1/6)n(n+1)(2n+1)
が普通じゃない？

お礼

なるほど、よく分かりました。ありがとうございます。

回答No.1

f272

分母がS(n)=(1/6)n(n+1)(2n+1)ということが分かっていれば分子もS(2n)-S(n)だと分かるだろう。

お礼

あぁ、そうやるんですね、全然気付きませんでした（汗）ご回答ありがとうございます。