数列の極限について

質問

お世話になります。
現在微分を勉強しようとしているのですが、
最初の段階でつまづいて困っています。

問題は以下の通りです。
「一般項が次の式で表される数列について、n→∞のときの収束・発散を
調べ、収束するならば極限値を求めよ」

で、添付の図を見てください。(分数やルートの表示の仕方が
わからなかったので、教科書をスキャンしました。
見にくかったら申し訳ありません)

最後の行が、なぜそうなるのかが全く理解できません。
これは上の式をどう加工しているのでしょうか？
分子分母をnで割っているのかと思うのですが、
なぜ分母のルートの中をこのように変形できるのですか？

皆様には簡単であろう質問で大変申し訳ありませんが、
ご教授いただけると助かります。
どうぞよろしくお願いいたします。

回答No.1

proto · ベストアンサー

√(n^2+3n)÷nの計算方法、
　　√(n^2+3n)÷n = (√(n^2+3n))/n
　　　　　　　　　= (√(n^2+3n))/√(n^2)
　　　　　　　　　= √((n^2+3n))/(n^2))
　　　　　　　　　= √((n^2)/(n^2)+(3n)/(n^2))
　　　　　　　　　= √(1+3/n)

感覚的に言うなら、1/nはルートの中に入れると1/n^2になります。

お礼

そうか、分子の一つ一つをnで割って行くんですね！
とてもわかりやすかったです！
どうもありがとうございます！！

回答No.2

ikaikka

おっしゃる通り最後は分子分母をnで割っています。
では √(n^2 + 3n) + n をnで割ることについて考えましょう。

nで割るとは1/nをかけることなので、
1/n×{√(n^2 + 3n) + n}
= 1/n×√(n^2 + 3n) + 1/n×n
= √{(1/n)^2 × (n^2 + 3n)} + 1
= √(1 + 3/n) + 1 (分配則です)

2√a = √(2^2 × a)
というように根号の中に数字を入れるときは２乗しますよね。
同じように３行目は1/nを２乗して根号の中に入れて計算しています。

少し読みづらいと思いますが、紙に書いてみると理解しやすいかもしれません。

お礼

おおっこちらもなるほど！
紙に書いてみたらわかりました！
どうもありがとうございます！！

補足

proto様、ikaikka様、
素早いお返事ありがとうございます。
お陰さまで今日はよく眠れそうです。

回答を頂いた順にポイントを差し上げますので、ご了承ください。
本当にありがとうございました。