数列の極限

質問

数列 k!/k^k の極限を求めよ、なのですが、
これは1/k・2/k・3/k・・・(1-k)/k・k/k
で、k→∞のとき
第k-1項目まで、分母＞分子となることから、
0に収束。第k項は∞/∞の不定形。
数列自体は0に収束しそうですが、
これを答案形式に書くにはどのように
書けばよいのでしょうか？
確信のもてる形が浮かびません。
よろしくお願いします。

回答No.3

arrysthmia

区分求積など…
log( k ! / k^k ) = Σ[j=1…k] log( j/k ) = k・(1/k) Σ[j=1,…,k] log( j/k ).
lim[k→∞] (1/k) Σ[j=1,…,k] log( j/k ) = ∫[t=0…1] (log t) dt = -1 より、
lim[k→∞] log( k ! / k^k ) = (∞)(-1) = -∞.
よって、lim[k→∞] k ! / k^k = e^(-∞) = 0.
ちょっと荒っぽいか。

補足

回答有難うございます。
今の私には高度過ぎますが、
将来の課題にさせて頂きます。

回答No.2

Se-cret

0 < k!/k^k = 1/k・2/k・3/k・・・(k-1)/k・k/k < 1/k
として、はさみうちの原理より～～

でいかがでしょう？

お礼

回答有難うございました。
なるほど大変参考になりました。
有難うございます。

回答No.1

Tacosan

簡単にいくなら
k! / k^k = [(1/k)(2/k)...((k/2)/k)][((k/2+1)/k)...((k-1)/k)(k/k)]
としておいて, 後ろの [] はたかだか 1 であることが明らかなので
k! / k^k ≦ [(1/k)(2/k)...((k/2)/k)].
ここで 1/k < 2/k < ... < (k/2)/k であることを使えば 0 に収束することがわかります.

補足

回答有難うございます。
すみません。
途中の(k/2)/k,(k/2+1)/kというのは、
どのような発想から出るものなのでしょうか？