約数の総和

質問

600の正の整数は24個あり、それらの総和は(　　)である。
この問題はどうやって解けばよいのでしょうか？
公式は知っているのですが、公式を使わないときかたがあればそれを教えていただきたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

big_barn · ベストアンサー

こんばんは。

24個の約数とは、
（1）2の0乗×3の0乗×5の0乗
（2）2の0乗×3の0乗×5の1乗
（3）2の0乗×3の0乗×5の2乗

（4）2の0乗×3の1乗×5の0乗
（5）2の0乗×3の1乗×5の1乗
（6）2の0乗×3の1乗×5の2乗

（7）2の1乗×3の0乗×5の0乗
（8）2の1乗×3の0乗×5の1乗
（9）2の1乗×3の0乗×5の2乗

（10）2の1乗×3の1乗×5の0乗
（11）2の1乗×3の1乗×5の1乗
（12）2の1乗×3の1乗×5の2乗

（13）2の2乗×3の0乗×5の0乗
（14）2の2乗×3の0乗×5の1乗
（15）2の2乗×3の0乗×5の2乗

（16）2の2乗×3の1乗×5の0乗
（17）2の2乗×3の1乗×5の1乗
（18）2の2乗×3の1乗×5の2乗

（19）2の3乗×3の0乗×5の0乗
（20）2の3乗×3の0乗×5の1乗
（21）2の3乗×3の0乗×5の2乗

（22）2の3乗×3の1乗×5の0乗
（23）2の3乗×3の1乗×5の1乗
（24）2の3乗×3の1乗×5の2乗

ですよね。
まず（1）～（3）をたすと
（a）2の0乗×3の0乗×(5の0乗＋5の1乗＋5の2乗)
ですよね。
次に（4）～（6）をたすと
（b）2の0乗×3の1乗×(5の0乗＋5の1乗＋5の2乗)
ですよね。
（a）と（b）をたすと
（A）2の0乗×(3の0乗＋3の1乗)×(5の0乗＋5の1乗＋5の2乗)
ですね。

同様に{（7）～（9）の和}と{（10）～（12）の和}の和は、
（B）2の1乗×(3の0乗＋3の1乗)×(5の0乗＋5の1乗＋5の2乗)
{（13）～（15）の和}と{（16）～（18）の和}の和は、
（C）2の2乗×(3の0乗＋3の1乗)×(5の0乗＋5の1乗＋5の2乗)
{（19）～（21）の和}と{（22）～（24）の和}の和は、
（D）2の3乗×(3の0乗＋3の1乗)×(5の0乗＋5の1乗＋5の2乗)
となりますよね。

最後に（A）（B）（C）（D）の和は
(2の0乗＋2の1乗＋2の2乗＋2の3乗)×(3の0乗＋3の1乗)×(5の0乗＋5の1乗＋5の2乗)
となり、これが約数の総和です。

他の整数の約数の和に関しても同じ方法です。
おそらく、公式とはこれのことだと思います。

不明な点があれば補足します。

お礼

おはようございます
どうもありがとうございマス！！

公式を使わないとそうなるんですね。
公式の意味がよくわからなかったのですが、どういう計算をしているのかよくわかりました。
全部書き出させてしまってごめんなさい！感謝しますm(__)m

参考にさせていただきます。
どうもありがとうございました！

回答No.2

fushigichan

stripeさん、こちらにもお邪魔します。

＞600の正の整数は24個あり、それらの総和は(　　)である。
この問題はどうやって解けばよいのでしょうか？
公式は知っているのですが、公式を使わないときかたがあればそれを教えていただきたいです。

公式というのは、素因数分解して

a^x*b^y*c^z
としたときに、
{Σ[k=0to x]a^x}*{Σ[k=0toy]b^y}*{Σ[k=0toz]c^z}

というものでしょうか。
これを使わないとすると、＃１さんのように、約数をすべて書き出して
いちいち計算しなければならないと思います。

まず、素因数分解
600=6*100=2*3*10*10=2*3*2*5*2*5=2^3*3^1*5^2

であることは、いいですよね。
約数の数は、２の累乗のグループから、０乗から３乗までの４とおり。
３の累乗のグループからは、０乗か１乗の２とおり。
５の累乗のグループからは、０乗から２乗までの３通りなので
４＊２＊３＝２４とおりあります。

これを、すべて書き出して求めればいいですね。
結局のところ、

(2^0+2^1+2^2+2^3)(3^0+3^1)(5^0+5^1+5^2)
=(1+2+4+8)(1+3)(1+5+25)
=(15)(4)(31)=1860

ということになるでしょうか。

お礼

どうもありがとうございます！

公式がどうしてそうなるのかわからなかったので、使わないで解くとどうなるのかと思ったのですが、使わないと大変な手間になってしまうんですね。

集合の問題もお世話になりました～。
参考にさせていだきます。
本当にありがとうございましたm(__)m