約数の総和

質問

たとえば、20の約数の総和は5・2^2より、(1＋5)(1＋2＋4)で出せますよね？？
なぜ出すことができるのでしょうか？

回答No.3

wayne_g · ベストアンサー

20=2^2*5^1　で、20の約数は1,2,4,5,10,20　ですね。

1=2^0*5^0
2=2^1*5^0
4=2^2*5^0
5=2^0*5^1
10=2^1*5^1
20=2^2*5^1　となり20の約数は 2^a*5^b の形になる ただし 0<=a<=2,0<=b<=1

辺々加えると

1+2+4+5+10+20
=2^0*5^0+2^1*5^0+2^2*5^0+2^0*5^1+2^1*5^1+2^2*5^1 =(2^0+2^1+2^2)*5^0+(2^0+2^1+2^2)*5^1
=(2^0+2^1+2^2)*(5^0+5^1)
=(1+2+4)*(1+5)

でお分かりですか。

お礼

返信遅れてすいません。
とても丁寧に、ありがとうございました。
とてもわかりやすかったです。

回答No.2

nice-guy7762

その式を展開してみてください。５を取るか１個取るか、２を取るか１乗分とるか、２乗分とるか。それを掛け合わせたものになります。5・2^2の約数は
１
２^１
２^２
５^１
５^２
５×２^２

樹形図を書いてみて下さい。

回答No.1

k_train_9999

20=5*2^2 なり、20の約数は１、２、４、５、１０，２０です。まずこれは大丈夫だと思います。
　この２０の約数は、（５＾ｎ）＊（２＾ｍ）ｎ＝０，１　ｍ＝０，１，２で表されます。つまり（５＾０）＊（２＾０）、（５＾０）＊（２＾１）、（５＾０）＊（２＾２）、（５＾１）＊（２＾０）、（５＾１）＊（２＾１）、（５＾１）＊（２＾２）その総和は整理すると（１＋５）＊（１＋２＋４）となります。