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【高校数学】

【高校数学】 (1)a、b、cをa^2+b^2+c^2=1を満たす実数とすると、a+b+cの最大値を求めよ。 (2)X^n(n=2、3、4…)を(2x-1)^2で割った余りを求めよ。 (1)は平方完成できず、よくわかりません… (2)は合成関数の微分かな?と思うのですが、はっきりせず、手がつけられません… よろしくお願いします。 (>人<)

質問者が選んだベストアンサー

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  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.4

←No.2 じゃあ、やってみよう。 X^n = (2X-1)^2 ・Q(X) + R(X) という式の 変数を 2X-1 = Y で置き換えたあと、 二項定理を使って左辺を展開すると、どうなる? 変形した式を、補足欄に書いてみてください。 あとは、R(X) が何次式か に注目して…

iamalive
質問者

補足

回答ありがとうございます。 左辺に、X=1/2×(Y+1)を代入してから二項定理ですか??

その他の回答 (6)

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.7

R( (2X-1)/2 ) ってのは、いったい何処から 湧いて出たのでしょう? R(X) に X = (Y+1)/2 を代入するんですよ。 2X-1 = Y と置いたのだから。 R(X) が一次以下だから、R(X) = aX+b と置いて、 X = (Y+1)/2 を代入してごらんなさい。 Y の何次式になりましたか?

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.6

そうです。 そして、R( (Y+1)/2 ) も Y について一次以下ですね。 (Y^2) Q( (Y+1)/2 ) は Y について二次以上ですから、 貴方の式の両辺を比べると、 (nY + 1) / 2^n = R( (Y+1)/2 ) と解ります。 この式へ Y = 2X-1 を代入して、X の式に戻せば、 R(X) が具体的な X の多項式で表せます。

iamalive
質問者

補足

どうしてR( (2X-1)/2 )がYについて一次以下なんですか?? すいません…勉強不足で…

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.5

両辺に X = (Y+1)/2 を代入してから、二項定理です。

iamalive
質問者

補足

Y^n/2^n+nY^(n-1)/2^n+n(n-1)/2×Y^(n-2)/2^n+………+1/2^n=Y^2Q(X)+R(X) で、R(X)は一次以下。 ですか??

noname#113983
noname#113983
回答No.3

(2)は他の回答者を参考に。(1)だけ教えてやろう。 この程度ならせめてこれに気付けるといいなあ・・・という感じ。 でもベクトルと内積習ってないか? ベクトルa,xをa=(1,1,1),x=(a,b,c)と定めてxの大きさ|x|は 仮定より|x|=(a^2+b^2+c^2)^(1/2)=1 で、|a|=(1^2+1^2+1^2)^(1/2)=√3 ここで a+b+cの最大値とはaとxの内積(a,x)の最大値としても同等である。 したがって (a,x):=|a||x|cosΘ の最大値は-1≦cosΘ≦1より |a||x|。すなわち√3となる。ただしΘはaとxのなす角である。これで分かったか。

  • alice_44
  • ベストアンサー率44% (2109/4759)
回答No.2

(2) 微分を使わず、数Iで済ますには、 X^n = (2X-1)^2 ・商 + 余り と言う式を 2X-1 = Y で変数変換するとイイですね。 「二項定理」って、知ってますか?

iamalive
質問者

お礼

はい。 二項定理は知ってます!

noname#114687
noname#114687
回答No.1

(1)コーシー・シュワルツの不等式 (a^2+b^2+c^2) (x^2+y^2+z^2) ≧ (ax+by+cz)^2 [等号成立はa:b:c = x:y:zのとき] は知っていますか?これに x=y=z=1 を代入するだけです. 知らないならば,他に色々やり方はあるが,基本は1文字消去(して判別式利用)でしょう. (蛇足だがつまり,a+b+c=kとおいて,cについて解き,最初の式に代入する.それをまずaの二次方程式に整理して,aが実数解を持つ条件を判別式により求める.するとbとkの不等式になるが,bの二次不等式に変形し,bが実数解を持つ条件を判別式により求めると・・・,kの取り得る範囲が出ますね) 空間座標で図形的に処理すれば一発ですが. (2)これはもっと基本的で,どんな参考書にも載っていますから自分で調べるべきです. 解き方は一通りではありません. 君の言うのは,商と余りをおいて,剰余の定理のようにx=1/2を代入する,というものでしょう.しかしそれでは余り(一次式)が決定できないので・・,そう,そこで微分ですね. 或いは地道に,n=0,1,2,3,・・の場合の余りを調べて一般解を推測し,帰納法で証明するという手もあります. しっかり勉強して下さい.

iamalive
質問者

お礼

回答ありがとうございます。(1)調べてみました。有名な不等式なようですね… 勉強になりました。 (2)チャートに類題はあったのですが、ωの性質を利用するもので、参考になりませんでした…

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