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【高校数学】
【高校数学】 (1)a、b、cをa^2＋b^2＋ｃ^2=1を満たす実数とすると、a＋b＋cの最大値を求めよ。 (2)X^n(n=2、3、4…)を(2ｘ-1)^2で割った余りを求めよ。 (1)は平方完成できず、よくわかりません… (2)は合成関数の微分かな？と思うのですが、はっきりせず、手がつけられません… よろしくお願いします。 (>人<)
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←No.2 じゃあ、やってみよう。 X^n = (2X-1)^2 ・Q(X) + R(X) という式の 変数を 2X-1 = Y で置き換えたあと、 二項定理を使って左辺を展開すると、どうなる？ 変形した式を、補足欄に書いてみてください。 あとは、R(X) が何次式か に注目して…
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- alice_44
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R( (2X-1)/2 ) ってのは、いったい何処から 湧いて出たのでしょう？ R(X) に X = (Y+1)/2 を代入するんですよ。 2X-1 = Y と置いたのだから。 R(X) が一次以下だから、R(X) = aX+b と置いて、 X = (Y+1)/2 を代入してごらんなさい。 Y の何次式になりましたか？
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
そうです。 そして、Ｒ( (Y+1)/2 ) も Y について一次以下ですね。 (Y^2) Ｑ( (Y+1)/2 ) は Y について二次以上ですから、 貴方の式の両辺を比べると、 (nY + 1) / 2^n = Ｒ( (Y+1)/2 ) と解ります。 この式へ Y = 2X-1 を代入して、X の式に戻せば、 Ｒ(X) が具体的な X の多項式で表せます。
補足
どうしてＲ( (2X-1)/2 )がYについて一次以下なんですか？？ すいません…勉強不足で…
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
両辺に X = (Y＋1)/2 を代入してから、二項定理です。
補足
Y^n/2^n＋nY^(n-1)/2^n＋n(n-1)/2×Y^(n-2)/2^n＋………＋1/2^n=Y^2Ｑ(X)＋Ｒ(X) で、Ｒ(X)は一次以下。 ですか？？
(2)は他の回答者を参考に。(1)だけ教えてやろう。 この程度ならせめてこれに気付けるといいなあ・・・という感じ。 でもベクトルと内積習ってないか？ ベクトルa,xをa=(1,1,1),x=(a,b,c)と定めてxの大きさ|x|は 仮定より|x|=(a^2＋b^2＋c^2)^(1/2)=1 で、|a|=(1^2＋1^2＋1^2)^(1/2)=√3 ここで a＋b＋cの最大値とはaとxの内積(a,x)の最大値としても同等である。 したがって (a,x):=|a||x|cosΘ の最大値は-1≦cosΘ≦1より |a||x|。すなわち√3となる。ただしΘはaとxのなす角である。これで分かったか。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
(2) 微分を使わず、数Ｉで済ますには、 X^n = (2X-1)^2 ・商 + 余り と言う式を 2X-1 = Y で変数変換するとイイですね。 「二項定理」って、知ってますか？
お礼
はい。 二項定理は知ってます！
(1)コーシー・シュワルツの不等式 (a^2+b^2+c^2) (x^2+y^2+z^2) ≧ (ax+by+cz)^2 ［等号成立はa:b:c = x:y:zのとき］ は知っていますか？これに x=y=z=1 を代入するだけです． 知らないならば，他に色々やり方はあるが，基本は１文字消去（して判別式利用）でしょう． （蛇足だがつまり，a+b+c=kとおいて，cについて解き，最初の式に代入する．それをまずaの二次方程式に整理して，aが実数解を持つ条件を判別式により求める．するとbとkの不等式になるが，bの二次不等式に変形し，bが実数解を持つ条件を判別式により求めると・・・，kの取り得る範囲が出ますね） 空間座標で図形的に処理すれば一発ですが． (2)これはもっと基本的で，どんな参考書にも載っていますから自分で調べるべきです． 解き方は一通りではありません． 君の言うのは，商と余りをおいて，剰余の定理のようにx=1/2を代入する，というものでしょう．しかしそれでは余り(一次式)が決定できないので・・，そう，そこで微分ですね． 或いは地道に，n=0,1,2,3,・・の場合の余りを調べて一般解を推測し，帰納法で証明するという手もあります． しっかり勉強して下さい．
お礼
回答ありがとうございます。(1)調べてみました。有名な不等式なようですね… 勉強になりました。 (2)チャートに類題はあったのですが、ωの性質を利用するもので、参考になりませんでした…
補足
回答ありがとうございます。 左辺に、X=1/2×(Y＋1)を代入してから二項定理ですか？？