数学的「割り切れる」と「因数と約数」の定義を教えてください。

質問

数学的「割り切れる」と「因数と約数」の定義を教えてください。

いわいる1=0.999...　の手合いの問題です。（多いときは週一でくるそうですが）
以下「因数・約数」を同一視します。（また煩瑣なので整数限定を無視します）

1=0.999...
この両辺を3で割ると
1/3=0.333...
となりますが、この時右辺を３で割り切れたとすると、１を３で割ったことになりますから
成立しません。
当然結論として『割った時、循環小数が現れる場合割り切ったことにならない』
という結論を得ますが、そうなると約数（因数）の定義から、『3は0.999...の約数（因数）ではない』
となりますよね？
つまり
1=3（0.333...）
と分解することはできないとなりますが,両辺を3で割るとすると
1/3＝0.333...
となり、誤謬の式から真となる式がでてきます。
つまり定義やルールがあやふやだと『１を３で割り切る』ことができてしまいます（？）。

約数の定義が『ある整数を割り切ることのできる整数』であるからして
循環小数について約数の定義を当てはめるのは馬鹿らしいのですが、
因数・約数（ときに倍数）を同一視している人が多いのと、
自身『約数・因数』『割り切る』の定義がわからないので聞きました。

最後に要点をまとめますと
１　割り切れないものを因数分解できるか→0.999...=3(0.333...)
２　１の時、因数であっても「割り切れる」とできないのか　
　　→(0.00...1は存在しないのだから極限によって『１を３で割り切る』ことはできないのか）
３　つまる所1=0.999...=3(0.333..)としたとき３で割り切れたことにならないか

当方数学が苦手なので、できる限り噛み砕いた説明を希望します。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

数の場合、「割り切れる」という言葉は大抵、
「割り算の商を筆算で計算した時、商が有限桁に収まる事」を言うと思います。
これが本当に「割り切れる事」の定義なのかどうかは知りませんが
(そもそもちゃんと定義されているのかどうかも私は知りません)、
とりあえずそうだという前提で話を進めてみます。

> 1=0.999...
> この両辺を3で割ると
> 1/3=0.333...
> となりますが、この時右辺を３で割り切れたとすると、

右辺0.999…は小数点以下、無限に9が続きます。
もし筆算で0.999… ÷ 3をやってみると、いつまでやっても商が求まりません。
無限に計算を続ける必要があります。

1 ÷ 3も筆算で計算すると、いつまでやっても商が求まりません。
無限に計算を続ける必要があります。

つまり最初に挙げた「割り切れる事」の定義に当てはめるなら、
0.999… ÷ 3も1 ÷ 3もどちらも「割り切れない」となります。

> １　割り切れないものを因数分解できるか→0.999...=3(0.333...)

割り切れませんが、因数分解はできます。

「割り切れる事」と「割れる事」は別物です。
2 ÷ 7は割り切れませんが、割る事はできます(答えは2/7)。
同様に0.999…は3で「割り切る事」はできませんが、
0.999…は3で割れます(答えは0.333…)。

因数分解は「割り切る」のではなくて「割る」操作をします。
なので割り切れないからといって、因数分解できないわけではありません。
割り切れなくても、割れれば因数分解できるんです。

お礼

なるほど「割り切れる」と「因数分解」は完全な１対１関係にはないんですね。
考えてみれば当たり前ですが特殊な事例を考えると
途中ごったにして混乱してしまいました。

>「割り算の商を筆算で計算した時、商が有限桁に収まる事」を言うと思います。
>これが本当に「割り切れる事」の定義なのかどうかは知りませんが
>(そもそもちゃんと定義されているのかどうかも私は知りません)
実際どうなのかはいくら調べても出てきませんでしたが、「有限」であることが「割り切れる」
の定義であるとしてよいのですね。

回答を頂いて、当たり前のことが再認識できたので非常に助かりました。
ありがとうございました。