数学の問題です。

質問

数学の問題です。
文字xについての整式P（x）を
2次式x^2+2x+1で割ると余りが5x-2で
x^2-3x+2で割ると余りが2x+1であるとする。
次の問いに答えよ

（1）整数P（x）をx^2-x-2で割ったときの余り
（2）整数P（x）は4次式であるとし、かつ、P（x）はxで割り切れるとする。このときのP（x）

（1）は1/2x+4となりましたが合ってますかね？
（2）に関してはお手上げです(泣)
お願いします

回答No.2

aquatarku5 · ベストアンサー

NO1回答へのご質問に回答します（一部訂正有。失礼
いたしました）。

ご指摘のように、(x-1)^2で割り切れるところは、
(x+1)^2の誤りでです。その部分以降を訂正した
のが以下です。

P(x)-(5x-2)は、(x+1)^2で割りきれるので、
P(x)-(5x-2)
=x{ax^3+(1/2-2a)x^2-(2+a)x+(2a+9/2)}-(5x-2)
=ax^4+(1/2-2a)x^3-(2+a)x^2+(2a-1/2)x+2
=(x+1){ax^3+(1/2-3a)x^2+(2a-5/2)x+2}において、
{ax^3+(1/2-3a)x^2+(2a-5/2)x+2}はさらに(x+1)で
割り切れる。すなわち、x=-1を代入すると値=0。
したがって、
-a+1/2-3a-2a+5/2+2=-6a+5=0　∴a=5/6

お礼

ありがとうございます
助かりました

回答No.1

aquatarku5

与えられた条件より、
P(x)
=(x^2+2x+1)Q1(x)+(5x-2)=(x+1)^2・Q1(x)+(5x-2)
=(x^2-3x+2)Q2(x)+(2x+1)=(x-1)(x-2)・Q2(x)+(2x+1)

(1)
P(x)
=(x^2-x-2)Q3(x)+(ax+b)　とおける。
=(x-2)(x+1)Q3(x)+(ax+b)

P(2)=2a+b=2・2+1=5
P(-1)=-a+b=5・(-1)-2=-7
より、a=4、b=-3　即ち、余り=4x-3

(2)
P(x)=x(ax^3+bx^2+cx+d)と置いた上で、
P(-1)=-7,　P(1)=3,　P(2)=5より、
・a-b+c-d=7
・a+b+c+d=3
・8a+4b+2c+d=5/2
なので、これらより、
a+c=-2、b+d=5、2a+b=1/2
を得、b,c,dをaで表現すると、
P(x)=x{ax^3+(1/2-2a)x^2-(2+a)x+(2a+9/2)}
となる。
P(x)-(5x-2)は、(x-1)^2で割りきれるので、
P(x)-(5x-2)
=(x-1){ax^3+(1/2-a)x^2-(2a+3/2)x-2}において、
x=1の場合に{}内=0すなわち、
a+1/2-a-2a-3/2-2=-2a-3=0　したがって、a=-3/2

あとは、b,c,dを求めて、P(x)の式に代入すればよい。

補足

P(x)-(5x-2)は(x-1)^2で割れるってところ(x+1)^2だと思います
その後の式は何をどうしているんですか？