公務員試験の問題です。

質問

数学の問題なのですが、解き方を教えて下さい。

問) xについての整式P(x)は、X^2+X+1で割ると2X＋1余り、x^2-1で割ると4余る。
このときP(x)を(X^2+x+1)(x^2-1)で割ったときの余りは何か？

数学が苦手なのでさっぱり分かりません。解法を教えてください。

回答No.1

soixante

＞P(x)を(X^2+x+1)(x^2-1)で割ったときの余り

４次式で割っていますから、余りは３次式（以下）となるので、商をQ(x)とすれば、

P(x)= (x^2+x+1)(x^2-1)Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d と書けます。 ・・・（１）

つまり、このa,b,c,d　を求めます。

x^2-1 で割った余りが４だと言っています。
(x+1)(x-1) で割った余りが４ということです。この商をR(x)とすれば、
P(x)=(x+1)(x-1)R(x) +4 ということですから
P(1)=4
P(-1)=4

ですね。（剰余定理）

（１）の式に代入してやれば、
P(1) =　a + b + c + d = 4
P(-1)= -a + b - c + d = 4

上の式から下の式を引いてやれば、2a + 2c = 0 すなわち　c = -a ・・・・(2)
これを、上の式に代入すれば、a + b - a + d =4
つまり、b + d = 4 ・・・・・・・・・・・(3)

さて。

＞P(x)は、X^2+X+1で割ると2X＋1余り

と言っています。（１）の式から、

P(x)= (x^2+x+1)(x^2-1)Q(x) + ax^3 + bx^2 + cx + d

この余りは、後半部分　「ax^3 + bx^2 + cx + d」　から出てくることが分かります。
（前半部分は x^2 + x + 1 で割りきれますから）

では、ax^3 + bx^2 + cx + d を　x^2 + x + 1 で割ってみる。

　　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　
x^2 + x + 1 　）　ax^3 + bx^2 + cx + d　

筆算で割っていってください。

ここで出た余りは　(c- b) x + (d - b + a)　となりますが、これが2x +1 ということですので、

c - b =　2 ・・・・・・・（４）
d - b + a = 1　・・・・　（５）

あとは、（２）～（５）　を解けば、a,b,c,d が出ます。