三角関数タンジェントについての

質問

台形ABCDがありAD平行BC、AD=3、BC=5、∠B＝α、∠C＝βとする。
（１）台形の面積Sをα、βを用いて表せ。
（２）α＋β＝１３５°のときSの最大値を求めよ。
という問題です

(1)S＝8tanαtanβ／(tanα＋tanβ)
とでました。
(2)β＝１３５°－αだから(1)で出た式に代入すると・・・
S(α)＝8tanαtan(135°－α)／{tanα＋tan(135°－α)}
　　　　tanα(tan135°－tanα)　　　　　 /　　　　　(tan135°－tanα)
＝８----------------------------　/　tanα＋------------------　　　（加法定理で）
　　　　　　1+tanαtan135°　　　　　　/　　　　　　　1+tanαtan135°

　　　tanα(-1－tanα)　　　　　 /　　　　　(-1－tanα)
＝８--------------------　/　tanα＋---------------
　　　　　　　1-tanα　　　　　/　　　　　　　　　1-tanα

＝８tanα(-1－tanα)／(-tan^{2}α-1)
＝８tanα(1+tanα)／(tan^{2}α+1)
（＝８(sinαcosα＋sin^{2}α)　）

α＝135°－βより0°＜α＜135°
ここから最大値がでません。
途中あってるのか心配です。

回答No.2

noname#24477 · ベストアンサー

８(sinαcosα＋sin^{2}α)　
ここまできたら2倍角
＝８（(1/2)sin2α＋（1-cos2α)/2）
＝４（１＋sin2α-cos2α）
合成
＝４（１＋√２sin(2α-４５°)）
2α-４５°＝９０°
のとき最大

βを消去して進んだけれど、消去せずに
S＝8tanαtanβ／(tanα＋tanβ)
＝８sinαsinβ／（sinαcosβ＋cosαsinβ）
＝８sinαsinβ／sin（α＋β）

分母はＯＫだから
分子を積和の公式で直すという手もあり

補足

８sinαsinβ／sin（α＋β）
２sinαsinβ＝sin（α＋β）＋sin（α－β） だから
４｛sin（α＋β）＋sin（α－β）｝／sin（α＋β）
＝４｛sin135°＋sin（α－β）｝／sin135°
＝４｛１＋√２sin(α－β)｝

sin(α－β)＝１（α－β＝90°）のときSmax
Smax＝４｛１＋√２｝
答えはあってるけど
α－β＝90°
α＋β＝135°
この連立方程式ではα＝112.5°、β＝22.5°となってしまいます。
どこか間違いました？

回答No.7

hinebot

失礼しました。＾＾；

>＝４｛１＋√2/2*cos(α－β）}

＝４｛１＋√2cos(α－β）}
ですね。
0°＜α＜135° 、0°＜β＜135° より
-135°＜α－β＜135°
で、α－β＝０のとき、cos(α－β）は最大ですね。

回答No.6

hinebot

>この連立方程式ではα＝112.5°、β＝22.5°となってしまいます。
>どこか間違いました？

最初の
>２sinαsinβ＝sin（α＋β）＋sin（α－β） だから
が間違ってますね。
２sinαsinβ＝-cos（α＋β）＋cos（α－β）
です。
なので、

８sinαsinβ／sin（α＋β）
＝４｛-cos（α＋β）＋cos（α－β）｝／sin（α＋β）
＝４｛cos(α－β）-cos135°}/ sin135°
＝４｛cos(α－β）+ sin45°｝/ sin135°

で　sin45°＝sin135°=√2/2 なので
＝４｛１＋√2/2*cos(α－β）}

じゃないですか？

お礼

ありがとうございます。
なんで積和を間違えたのか・・・。

＞４｛１＋√2/2*cos(α－β）}
ちょっと違いますね？

４｛１＋√2*cos(α－β）}
ですよね？

回答No.5

kony0

＞２sinαsinβ＝sin（α＋β）＋sin（α－β） だから

2sinαsinβ=cos(α-β)-cos(α+β)じゃないですっけ？

-135度<α-β<135度より、cos(α-β)はα-β=0のとき最大

お礼

だあ！！！
本当だ！。すいません。
何でこんなミスするのよぅ！
ありがとうございました。

回答No.4

noname#24477

＃３の疑問についてひとこと

ベータが鈍角の場合はtanβの値がマイナスになるので
そのままでいいと思いますよ。
αが鈍角の場合はｘが負の値もとるとしておけば
やっぱりそのままでいいと思います。

最初に式を作られたときにそこまで考えて作られたかどうかは
わかりませんが。
私も鈍角の場合は考えていませんでした。

回答No.3

hinebot

(1)の方で気になったことがあるので。
その前に
>A、DからBC下ろした垂線の足をM、Nとして、AM＝ｘとおくと
これは　「BM=ｘとおくと」ですよね？
で、後の計算はいいと思うんだけど、この場合α、βともに鋭角（90度未満）として考えてますよね。そういう条件がついているのならいいんですけど、そうでなければどちらがが鈍角（90度より大きい）の場合について、場合分けが必要では？
例えば、αが鋭角、βが鈍角なら
DN＝(2-x)tanβ　ではなく　DN＝(x-2)tanβ
になりませんか？

お礼

ありがとうございます。
確かに＞　「BM=ｘとおくと」ですよね？
でした。今日の昼ふと思ったのですが、やはり間違ってました。
鈍角の場合は考えていませんでした。ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

kony0

(2)の回答は幾何的にすぐ解けて、
BAとCDの交点をPとすると、S=(16/25)△PBC

∠BPC=45度なので、PはBCを斜辺とする直角二等辺三角形のもうひとつの頂点Oを中心とし、OBを半径とする円のうち、Oを含む側の弓形の弧を描きます。

ここまでわかればα=β=67.5度が面積最大のときです。

BCを底辺としたときの高さも幾何的に考えると、OP=5/√2, BCの中点をMとするとOM=5/2なので、高さは(5/2)*(√2+1)

従って台形の面積の最大値は(16/25)*5*(5/2)*(√2+1)=8(√2+1)

ところで、(1)はあってますか？（自信なし）

お礼

ありがとうございました。
幾何的に考えるのも大事ですね。

PS
＞台形の面積の最大値は(16/25)*5*(5/2)*(√2+1)=8(√2+1)
1／2をかけ忘れてますよね？

補足

多分あってると思うけど・・・（答え、ないもんで）

A、DからBC下ろした垂線の足をM、Nとして、AM＝ｘとおくと
AM=ｘtanα、DN=(2-x)tanβ
AM=DNだから、ｘtanα＝(2-x)tanβ　　∴ｘ＝2tanβ／(tanα+tanβ)
台形の面積S＝(5+3)×AM×1／2＝4×ｘtanα＝8tanαtanβ／(tanα+tanβ)

どうですか？（これは自信ありだけどドコかポカミスしてるかもです）

確かに幾何学的に解けますね。67.5°ですね。
でもサイン・コサイン・タンジェントで出るのでしょうか？半角の公式あたり？
別に計算に固執する必要もないと思いますが・・・気になります。