三角関数・・・

質問

ものすごく簡単な問題らしいのですが、わからないのでお願いします。

☆鋭角θがtanθ=3/4を満たす時、sinθ/(1+cosθ)+sinθ/(1-cosθ)は？
☆0°≦θ≦135°のとき、不等式2sin^2θ-cosθ-1>0は？

この二つなんですが・・・。
ひとつ目は式を通分して解いたのですが、tanθまでたどりつけませんでした。
ふたつ目は、cosθ<-1 , 1/2<cosθ まで出たのですが、その後が
わかりません。教えてください。

回答No.5

fushigichan · ベストアンサー

こんにちは。
☆鋭角θがtanθ=3/4を満たす時、sinθ/(1+cosθ)+sinθ/(1-cosθ)は？

（与式）＝sinθ/(1+cosθ)+sinθ/(1-cosθ)
両辺を通分します。
（与式）＝sinθ・(1-cosθ)/(1+cosθ)(1-cosθ) + sinθ・(1+cosθ)
/(1-cosθ)(1+cosθ)
ここで、分子はsinθでくくると、
(分子）＝sinθ(1-cosθ+1+cosθ）=2sinθです。
（分母）＝(1-cosθ)(1+cosθ)=1-cos^2θ=sin^2θ
よって（与式）＝2/sinθ
さて、tanθ=sinθ/cosθとあらわせる（θは鋭角より）
tanθ=sinθ/cosθ=3/4を代入して4sinθ=3cosθ
両辺二乗して、16sin^2θ=9cos^2θ=9(1-sin^2θ）
よって、25sin^2＝９　sinθ=プラスマイナス3/5
θは鋭角より、sinθ=3/5
これを与式に代入して、求めればよい。(与式）＝10/3

☆0°≦θ≦135°のとき、不等式2sin^2θ-cosθ-1>0は？

2sin^2θ-cosθ-1>0において、sin^2θ+cos^2θ=1ですから、
2(1-cos^2θ)-cosθ-1>0 となります。
ここで、cosθ=xとおくと、0°≦θ≦135°よりー１／√２≦ｘ≦１ですね。
2(1-cos^2θ)-cosθ-1>0 は
-2x^2-x+1>0
2x^2+x-1<0
(2x-1)(x+1)<0と変形できます。
ここで、ｘの範囲より、ｘ＋１＞０なので、
２ｘ－１＜０
ｘ＜１/２
cosθ<1/2 となるθを求めればよい。
θ＝６０°のとき、cosθ＝1/2
θが大きくなるにつれてcosθは小さくなるので、答えは６０°＜θ≦１３５°です。

二つとも、ものすごく簡単ではないですね。
なかなか難しいと思います。がんばってくださいね！！

お礼

わかりました★とってもわかりやすかったです！
ありがようございました！

回答No.4

mmky

tanθまでたどりつく方法。
(1) (sin＾2θ+cos＾2θ)=1 を利用する。
sinθ/(1+cosθ)+sinθ/(1-cosθ)
=2sinθ/1-cos＾2θ=2sinθ/sin＾2θ=2*1/sinθ　
=2*(sin＾2θ+cos＾2θ)/sinθ=2*sin＾2θ{1+cos＾2θ/sin＾2θ)/sinθ
=2*sinθ{1+cos＾2θ/sin＾2θ)=2*sinθ{1+/tan＾2θ)=2*sinθ(1+/K＾2)
=2*(3/5){1+1/(3/4)＾2}=10/3
(2) sinをcos で置き換え、#2さんの方法
tanθ=sinθ/cosθ=K, K=3/4, sinθ=kcosθ
sinθ/(1+cosθ)+sinθ/(1-cosθ)
=2sinθ/1-cos＾2θ=2Kcosθ/sin＾2θ=2K/sinθtanθ=2/sinθ
=2（5/3）=10/3
(1),(2)ともsinθ,cosθ が残ります。
だから数値を出すには#１さんのピタゴラスの考えが(4,3,5)が必要ですね。
例えば、sinθ/(1+cosθ)-sinθ/(1-cosθ) の時は、美しく
=-2sinθcosθ/sin＾2θ=-2/tanθ=-2/K=-8/3 になります。

「cosθ＜1/2は60°なのではないでしょうか？」
＃１さんに代わって、
その通りです。　θ＜60°が正解。

計算の考え方の参考まで

回答No.3

rei00

rei00 です。

> cosθ＜1/2は60°なのではないでしょうか？
> ちょっと違うような気がするのですが・・・

　おっしゃる通りです。私がミスしてます（スミマセン）。

　この様な補足ができるという事は，もう解ったって事ですね。オメデトウ！

回答No.2

shinnopapa

１番目　与式を変形してｓｉｎで表し、ｔａｎからｃｏｓとｓｉｎを出し、代入しましょう。鋭角だから全部正です・

２番目　三角不等式です。単位円を書いて範囲を求めましょう。
ｃｏｓでは単位円のｘ座標がその不等式になる動径の範囲を図示してθの範囲を求めるのです

回答No.1

rei00

> ☆鋭角θがtanθ=3/4を満たす時、
> sinθ/(1+cosθ)+sinθ/(1-cosθ) は？

　直角三角形を考えてみて下さい。 tanθ = 3/4　ですから，底辺４で高さ３の直角三角形です。すると，ピタゴラスの定理から斜辺がいくらかは・・・分かりますね。

　この値を使えば，sinθ も cosθ も求まりますね。通分して得られた式に，これらの値を代入して下さい。10/3 だと思います。

> ☆0°≦θ≦135°のとき、不等式2sin^2θ-cosθ-1>0は？
> cosθ<-1 , 1/2<cosθ まで出たのですが、

　不等式 2sin^2θ-cosθ-1>0 を変形すると，(2cosθ-1)(cosθ+1) < 0　になったと思います。ここで，三角関数の性質から　-1 ≦ cosθ ≦ 1　ですので，cosθ+1 ≦ 0 です。ただし，cosθ+1=0 の場合は　0 < 0　になりますから，求める不等式が成立しません。

　よって，両辺を cosθ+1（> 0）で割った　2cosθ－1 < 0　を満たすθの範囲が解になります。θ < 45°でしょうか。

補足

cosθ＜1/2は60°なのではないでしょうか？
ちょっと違うような気がするのですが・・・