三角関数の性質～基本～

質問

私は今高校1年生なのですが、
学校では既に2年生の勉強が始まりました・・・。

三角関数をやっているのですが、
基本のところでつまずいてしまいました。

問　次の□にあてはまる鋭角を求めよ。
(1)tan9π/14＝－tan□
(2)cos(－11π/4)＝－sin□

公式で
sin(－θ)＝－sinθ
cos(－θ)＝cosθ
tan(－θ)＝－tanθ

sin(π－θ)＝sinθ　　　　　
cos(π－θ)＝－cosθ
tan(π－θ)＝－tanθ

sin(π＋θ)＝－sinθ
cos(π＋θ)＝－cosθ
tan(π＋θ)＝tanθ　

sin(π/2＋θ)＝cosθ
cos(π/2＋θ)＝－sinθ　　　
tan(π/2＋θ)＝－1/tanθ

sin(π/2－θ)＝cosθ
cos(π/2－θ)＝sinθ
tan(π/2－θ)＝1/tanθ

というのを習ったのですが、
2問ともこれを使って解くのでしょうか。

(1)はtan9π/14＝tan(π－5π/14)＝－tan5π/14
ではないかと思ったのですが、合っているでしょうか？

(2)のほうはあまり自信がないのですが、
cos(－11π/4)＝cos(π/2－13π/4)＝－sin13π/4
でいいのでしょうか？

考えるうちに
よくわからなくなってきてしまいました・・・；

よろしければどなたが回答・アドバイス等お願い致します。

回答No.6

yhposolihp · ベストアンサー

公式は図形的に見ると、
覚えなくても徐々に判るようになります。
(2)が中途半端で投稿します。
------------
(1)は、okです。
-------------
(2)
　　cos(－11π/4)
＝cos(π/2－13π/4)

　　　　＝－sin(13π/4)
　　　これは、cos(π/2－θ)＝sinθと、
　　　あなたが書いているように、

＝sin(13π/4)　です。

　　　2πを何回足しても、引いても、
　　　値は変わらないから、
　　　2πを引いて、

＝sin(13π/4－8π/4)
＝sin(5π/4)

　　　まだ鋭角になっていないので、

＝sin(4π/4＋π/4)　と変形して、

　　sin(π＋θ)＝－sinθを使い、

＝ーsin(π/4) となります。
---------------------
cos(－11π/4)
=cos(－8π/4ー3π/4)
=cos(ー3π/4)
=cos(3π/4)
=cos(4π/4－π/4)
=-cos(π/4)
=-sin(π/4)
でも手間は同じようです。

お礼

とてもわかりやすかったです！
理解できました。
私の解はまだ鈍角だったんですね・・・。
どうも授業でいきなりπが入ってきたため頭がついていかなくて；

細かく説明してくださり、
ありがとうございました。

回答No.5

tekcycle

> 公式で

ではなくて、単位円を書いて公式にされるまでもなく当然のことだ、と解るようにしておいて下さい。
いつでも単位円を考えればいくらでも変換できるように。
その当然のことを公式として文章にまとめればこうなりますね、というだけのことです。
その公式を求めるのが面倒だったりテクニックが色々必要だったりで導き辛いから取り敢えず公式を覚えておけ(というのも本当は良くないんだけれど)、ということとは全然違いますから気を付けてください。

お礼

そうですよね。
πを使わずに180°や90°を使ったものでは
公式丸暗記ではなく
自分で単位円を書いてできていたのですが、
どうもπになれなくて頭がまわりませんでした；
私の勉強不足です・・・。

何度もやってスムーズに解けるようにしていきたいと思います。
アドバイスありがとうございました。

回答No.4

shintaro-2

＞(2)のほうはあまり自信がないのですが、
cos(－11π/4)＝cos(π/2－13π/4)＝－sin13π/4
でいいのでしょうか？

13π/4は鈍角です。

cos(－11π/4)＝cos(11π/4)で

390°も30°も区別がつきませんから
cos(2nπ+θ)＝cos(θ)がミソです。
当然
sin(2nπ+θ)＝sin(θ)です。
π-θ→θと、π＋θ→θの変換を何回か使えば、鋭角になります。

お礼

13π/4はまだ鈍角でしたね・・・見落としていました；

そんなテクニックがあったのですね。
無事解けました！
ありがとうございました。

回答No.3

garnet5980

tanの方は正解していると思います。
cosの方はcos(-9π/14)=cos(9π/14)=cos(π/2+9π/4)=-sin9π/4となるべきではないでしょうか？？

軽くやってるんで間違えていたらすみません^^;

お礼

garnet5980さんのアドバイス(式)を参考に
最終的に答えに辿り着きました。
わざわざ計算していただき
ありがとうございました。

回答No.2

koko_u_

考えすぎです。

例えば(1)については tanθ の周期が π であることを知っていればよいのです。
つまり -tan(9π/14) = tan(-9π/14) と等しくなるのは

θ = -9π/14 + nπ , n は整数

あとは鋭角を求めるのだから、θが鋭角となるように n を調整するだけ。

お礼

色々と解き方があるんですね・・・。
勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.1

kuwaman091

(2)
cos(-11π/4)=cos(11π/4)=cos(2π/4+9π/4)=cos(π/2+9π/4)=-sin(9π/4)

お礼

kuwaman091さんお式を参考に
最後まで辿り着きました。
わざわざ回答してくださりありがとうございました。