三角関数、面積１/2倍

質問

y=sinx、y=asin(x/2)(0≦x≦π)（0≦ａ≦2）があります。
2つの曲線で課困る部分の面積が曲線ｙ=sinｘ(0≦x≦π)とｘ軸とで囲まれる部分の面積の半分となるときのaの値を求めたい。

2つの式の交点をｔとおくと
sint=asin(t/2)=a(1-cost)/2（0＜t＜π）

題意より
∫[0→t]{sinx-asin(x/2)}dx=(1/2)∫[0→π]sinxdx・・・☆
⇔[-cosx+(a/2)cos(x/2)][0→t]=１
⇔-cost+(a/2)cos(t/2)+(a/2)=0
⇔cost-(a/2)-a(1+cost)/4=0
⇔(4-a)cost-3a=0
⇔cost=3a/(4-a)

とやってみましたがaがでません。

☆⇔∫[0→t]{sinx-(a/2)(1-cosx)}dx=１
⇔[-cosx-(a/2)(x-sinx)][0→t]=１
⇔-cost-(a/2)(t-sint)-(-1)=１
⇔2cost+a(t-sint)=0

とやってもみましたがaがでない。
どうすればいいんでしょうか。ドコが間違ってます？

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

sin(t/2)={(1-cost)/2}^(1/2)
ではないでしょうか？

補足

ああ！そうですね。もう一度考えて見ます。

回答No.2

fushigichan

ONEONEさん、こんばんは。

＞2つの式の交点をｔとおくと
sint=asin(t/2)=a(1-cost)/2（0＜t＜π）

まず、交点tを求めるときに、
sint=asin(t/2)となるtを求めたらいいですね。
左辺は
sint=2sin(t/2)cos(t/2)なので
2sin(t/2)cos(t/2)=asin(t/2)
2sin(t/2)cos(t/2)-asin(t/2)=0
sin(t/2){2cos(t/2)-a}=0
となるので、そのようなtは
sin(t/2)=0または2cos(t/2)-a=0

sin(t/2)=0のとき、t/2=0,Π
t=0,2Πであるが、0≦x≦Πより、t=0

2cos(t/2)-a=0のとき、cos(t/2)=a/2
このtはすぐには求まらないので、tのままにします。

すると、題意より
＞∫[0→t]{sinx-asin(x/2)}dx=(1/2)∫[0→π]sinxdx・・・☆
これは、いいかと思います。右辺は1ですね。
左辺計算していくと、
(左辺)=[-cosx+(a/2)cos(x/2)]0→t
=1-cost+(a/2)cos(t/2)-(a/2)
これが１に等しいので、
-cost+(a/2)cos(t/2)-(a/2)=0・・（★）

ここで、cost=cos^2(t/2)-sin^2(t/2)=2cos^2(t/2)-1
という公式を使うと

（★）=-2cos^2(t/2)+1+(a/2)cos(t/2)-(a/2)=0

ここで、tはどのようなtだったかというと、
cos(t/2)=a/2
を満たしています。
これを代入すると、

-2(a/2)^2+1+(a/2)(a/2)-(a/2)=0
-a^2/2+1+a^2/4-a/2=0
-a^2/4-a/2+1=0
両辺４倍すると
-a^2-2a+4=0
a^2+2a-4=0
このaについての２次方程式を解くと、
a=-1±√5

ここで、0≦a≦2であったから
a=-1+√5
となると思います。