べき級数解法、問題

質問

(X+1)Y'-Y=Xの一般解をべき級数解法で求めよ。

という問いがありました。途中、級数の整理があんまりできないので、教えていただきたいです。

自分のやり方：（計算ミスがあったら、教えてください）(手書きも載っている）
まず、Y=(a0)+(a1)X+(a2)X^2+(a3)X^3+・・・
Y'=(a1)+2(a2)X+3(a3)X^2+4(a4)X^3+・・・とおく、そして式に代入。(a0),(a1),(a2)は係数(anのこと）
(X+1){(a1)+2(a2)X+3(a3)X^2+4(a4)X^3+・・・}-{(a0)+(a1)X+(a2)X^2+(a3)X^3+・・・}=X
係数比較：
X^0:a1-a0=0
X^1:2(a1)+(a1)-(a1)=0
X^2:3(a3)+2(a2)-(a2)=0
・・・
X^n:(n-1)(an+1)+n(an)-(an)=0を変形
(an)=-{(n-2)!/n!}(a2)になる
計算より、(a1)=(a0) (a2)=1/2
・・・途中半端になった。

ちなみに、答えはY=(a0)(1+X)+(X+1)log(1+X)-X

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> X^1:2(a1)+(a1)-(a1)=0

これは間違い。=1ですね。
また

> (an)=-{(n-2)!/n!}(a2)になる

これもn>=2のとき
(an)=(-1)^n*2*{(n-2)!/n!}(a2)
ですね。
(a0)=(a1)=1/2
ですから
Y=(a0/2)(1+X)+(X+1)log(1+X)-X
になることは容易に確認できるでしょう。この場合に定数倍は意味がないから
Y=(a0)(1+X)+(X+1)log(1+X)-X
でOK

補足

> X^1:2(a1)+(a1)-(a1)=１です。書き損ないでした。
どうやって、(an)=(-1)^n*2*{(n-2)!/n!}(a2)ここに変形しますか？
なぜ(an)=-{(n-2)!/n!}(a2)じゃないのですか？
知識不十分ですが、n>=2のとき(an)=(-1)^n*2*{(n-2)!/n!}(a2)をどうやってＹの式に誘導することも教えてください。無限級数を使うはずです

回答No.2

f272

画像であなたの書いている式を判読すると
a[n+1]=(-1)*(n-1)/(n+1)*a[n]
から
a[n+1]=(-1)*(n-1)/(n+1)*(n-2)/(n)*a[n-1]
のようにやっているが
a[n+1]=(-1)*(n-1)/(n+1)*(-1)*(n-2)/(n)*a[n-1]
だよね。つまり
a[n+1]=(-1)^2*(n-1)/(n+1)*(n-2)/(n)*a[n-1]
これを，進めていくと
a[n+1]=(-1)^(n-1)*(n-1)/(n+1)*(n-2)/(n)*...*(1)/(3)*a[2]
分母は(n+1)(n)(n-1)...4*3だから(n+1)!/2になるので
a[n+1]=(-1)^(n-1)*2*(n-1)!/(n+1)!*a[2]
これから(-1)^(n-2)=(-1)^(n)だから
a[n]=(-1)^(n)*2*(n-2)!/(n)!*a[2]

さらに
a[n]=(-1)^(n)*2*1/n/(n-1)*a[2]
a[n]=(-1)^(n)*2*(1/(n-1)-1/n)*a[2]
が分かります。ここで
log(1+x)=Σ[k=1:∞]((-1)^(k-1)*(1/k)(x^k))
だから
(1+x)log(1+x)=Σ[k=1:∞]((-1)^(k-1)*(1/k)(x^k))+Σ[k=1:∞]((-1)^(k-1)*(1/k)(x^(k+1)))
(1+x)log(1+x)=Σ[k=1:∞]((-1)^(k-1)*(1/k)(x^k))+Σ[k=2:∞]((-1)^(k-2)*(1/(k-1))(x^k))
(1+x)log(1+x)=x+Σ[k=2:∞]((-1)^(k-2)*(1/(k-1)-1/k)(x^k))
ここまでくれば簡単でしょ。