この解法の筋道を教えてください

質問

問題
f(x)=√x+2, x(n)をx(0)=0, x(n)=f(x(n-1)) (n=1, 2, 3, ・・・)と定義する。
(1)(2) すべての自然数nに対して 2-(1/2)^n-1<x(n)<x(n+1)<2, x(n)<2-(1/4)^n が成り立つことを示せ
(3) 全ての自然数に対して x(n)<2-α^n を満たす正の定数αのうち、最大のものを求めよ

解答
y(n)=2-x(n)<2-√4-y(n-1) と置く。y(n)>α^2が全ての自然数ｎについて成り立つような最大のαを求める。
(1)よりlim[n→∞]y(n)=0…(1)
曲線y=2-√4-xに関して、原点における接線は　y=(1/4)x
ここで曲線とx座標0, bで交わる直線y=(1/4 + a)x (a,b>0)を考えると
0<x<bで2-√4-x<(1/4 + a)x
また十分大きな自然数Nをとれば(1)より n≧Nを満たすnについて　0<yn<b
これよりn>Nで 　y(n)=2-√4-y(n-1)<(1/4 + a)y(n-1)　となるので
y(n)<(1/4 +a)y(n-1)<…<y(N)(1/4 +a)^n-N<b(1/4 +a )^n-N

以上より　α^n<y(n)<b(1/4 +a)^n-N 　が成り立ち、任意のa>0に対して
α^n>b(1/4 + a)^n-N 　となる必要があり、変形すると
{α/(1/4 +a)}^n<b/(1/4 +a)^N…(2)
右辺は定数であるからα>1/4とすると、0<a<α-1/4なるaに対して
α/(1/4 + a)>1
となるため、十分大きなnに対して(2)が不成立。
従ってα≦1/4
またα=1/4とすると、(2)より y(n)>α^nを満たす。
よって求める最大値はα=1/4

(1)(2)はできて(3)について、この解法のひとつひとつの式自体は何とか追えるのですが、y=2-√4-xとその接線を持ち出した理由等、どのような見通し、意図あってこのような解法になっているかわからず、自分で一から解答を作ることができません。
このように解こうとしていて、この式をつくっているのはこういう目的…等、考えかたの筋道をレクチャーしていただけないでしょうか
よろしくお願いします…

回答No.1

noname#152422

f(1)=√0+2=0+2=2
f(2)=√2+2
なので、n=1のとき、f(2)<2を満たさない。

つまり、問題がおかしいです。