大学のテスト勉強の数?の定積分でわからないとこがあり、困ってます。

質問

大学のテスト勉強の数?の定積分でわからないとこがあり、困ってます。

(1)∫tanxdx x:0→π/4

(2)∫tan（-1乗）xdx x:0→1

(3)∫1/(3x+1)dx x:0→1

答え
(1)2/1log2

(2)π/4-1/2log2

(3)2/3log2

です。

わかる方がいたら教えてください！！

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

(1)答え間違い
∫[0→π/4] -(cos(x))'/cos(x)dx=[-log(cos(x))] [0→π/4]
=log√2=(1/2)log2

(2)
I=∫[0→1] arctan(x)dx
tan(t)=xと置換積分するとdx=dt/(cos(t))^2,
x:[0→1]→t:[0→π/4]なので
I=∫[0→π/4] t/(cos(t))^2dt
部分積分して
=[t*tan(t)] [0→π/4] -∫[0→π/4] tan(t)dt
=π/4-(1/2)log2 (∵(1)の結果利用)

(3)
I=∫[0→1] 1/(3x+1)dx=(1/3)∫[0→1] 3/(3x+1)dx
=(1/3)[log(3x+1)] [0→1]
=(1/3)log4=(2/3)log2

お礼

丁寧にありがとうございます！
無事三題とも解けました(^O^)／

回答No.2

htms42

全部教科書に載っているような問題だと思います。
（３）がわからないようであれば（１）（２）はわかりません。

∫(１／ｘ)ｄｘ＝ｌｎ(ｘ)
です。
ｌｎは自然対数です。ｌｏｇという表現には注意が必要です。

回答No.1

R_Earl

(1)
tanx = sinx/cosxと変形しましょう。
後は分母をuとおいて置換積分してください。

(2)
「tan（-1乗）x」というのは1/tanxのことでしょうか？
それともtanの逆関数(arctan)でしょうか？

前者なら、(1)とほとんど同じです。
後者なら、∫logxdxの不定積分の求め方と同様の方法で解けます。

(3)
分母をuとおいて、置換積分しましょう。