積分

質問

∫1/(x^2+1)dxを解くと
∫1/xdx=log|x|より ∫1/(x^2+1)dx=log|x^2+1|
でよろしいでしょうか

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

> ∫1/(x^2+1)dxを解くと
> ∫1/xdx=log|x|より ∫1/(x^2+1)dx=log|x^2+1|
> でよろしいでしょうか

計算結果を微分すれば、検算できます。

log|x^2 + 1|をxで微分すると2x/(x^2 + 1)なので、
∫1/(x^2 + 1)dx = log|x^2 + 1|ではありません。
∫1/(x^2 + 1)dxの不定積分は「tan(x)の逆関数(arctan(x))」になります。

一般的には、
∫f(x)dx = F(x)の時、∫f(g(x))dx = F(g(x))とはなりません
(質問の式はf(x) = 1/x, g(x) = x^2 + 1, F(x) = log|x|の場合です)。
簡単な例を挙げると、∫sin(2x)dx = -(1/2)cos(2x)です(積分定数は省略しておきます)。
sinxの不定積分は-cosxなのに、sin2xの不定積分は-cos2xになりません。
このあたりは合成関数の微分を考えてもらえれば分かると思います。

お礼

合成関数から考えるのですか。ありがとうございます。

回答No.3

arrysthmia

よいわけないでしょう。
任意の関数の積分が、
∫f(x)dx = (1/2)｛ f(x) ｝~2 + (定数)
になりますか？

お礼

だめですか。アークタンジェントになりますか。
ありがとうございます。

回答No.2

info22

>∫1/xdx=log|x|より ∫1/(x^2+1)dx=log|x^2+1|
全然ダメです。

x=tan(t)と変数変換すると
dx=1/sec^2(t)dt=(1+tan^2(t))dt
1/(1+x^2)=1/{1+(tan(t))^2}
なので
∫1/(x^2+1)dx=∫[1/{1+(tan(t))^2}]*(1+tan^2(t))dt=∫ 1 dt= t+C

後はtをxに戻してやれば良いですね。

お礼

なるほど　ありがとうございます。