∫[1→0]tan＾(-1)xdxの定積分です

質問

∫[1→0]tan＾(-1)xdxの定積分です

以下のように解いて見たんですが
まず，
∫tan＾(-1)xdx
=∫(x)'tan＾(-1)xdx
=xtan^(-1)x-∫{x/(1+x^2)}dx
=xtan^(-1)x-1/2∫{2x/(1+x^2)}dx
=xtan^(-1)x-1/2log(1+x^2)
=xtan^(-1)x-log√(1+x^2)

となるので[xtan^(-1)x-log√(1+x^2)][1→0]を求める
[xtan^(-1)x-log√(1+x^2)][1→0]
={tan^(-1)-log√2}-1
=-3/2-log√2
と解きました。途中式・解答はあってますか？添削をお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

不定積分の部分は良いと思いますが、定積分の部分で誤りがあります。

　tan^(-1)(1)＝π/4、　log(1)＝０　ですので、次にようになります。

＞[xtan^(-1)x-log√(1+x^2)][1→0]
＞={tan^(-1)-log√2}-1
　={tan^(-1)(1)-log√2}-{log(1)}
　={tan^(-1)(1)-log√2}

＞=-3/2-log√2
　=π/4-log√2

　ところで、定積分の書き方ですが、∫[1→0]というのは、「１」が∫の下で「０」が上に書いてあるということですよね。
　もし逆でしたら、答えの符号が逆になります。

お礼

ありがとうございました。

補足

ごめんなさい。∫[1→0]は間違いで，∫[0→1]になります。

回答No.2

inara1

最初の
　　　∫tan＾(-1)xdx = xtan^(-1)x-log√(1+x^2)
は合ってますが、その次は
　　[xtan^(-1)x-log√(1+x^2)][1→0]
　　=　{ 0*tan^(-1) (0) - log1 } - { 1*tan^(-1) (1) - log√2 }
　　= -π/4 + log√2
が正しいと思います。

お礼

ありがとうございました。