定積分の応用に関する課題と解答
- 定積分の応用に関する課題と解答をまとめました。課題ではｎ≧２とし、(１／２)＋（１／３）＋（１／４）+･･･（１／ｎ）＜logｎ＜１＋１／２＋･･･＋１／ｎ－１を示す問題があります。
- また、定積分の性質を用いてlogｎと定積分の関係を導出しました。具体的には、∫（１～ｎ）１／ｘｄｘ＝logｎとなります。
- 解答においては、自然数ｋに対して仮定（★）を行い、定積分の大小関係を示しました。この仮定をしても問題ない理由について疑問を持っています。
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定積分の応用
(問い）ｎ≧２とする。（１／２)＋（１／３）＋（１／４）、、、＋（１／ｎ）＜logｎ＜１＋１／２＋、、、＋１／ｎ－１を示せ。 ∫（１～ｎ）１／ｘｄｘ＝logｎ また、∫（１～ｎ）（１／ｘ）ｄｘ＝∫（１～２）（１／ｘ）ｄｘ＋∫（２～３）１／ｘｄｘ＋、、、＋∫（ｎ－１～ｎ）１／ｘｄｘより、logn＝Σ（１～n-1)∫（ｋ～ｋ＋１）１／ｘｄｘ 自然数ｋに対して、ｋ＜ｘ＜ｋ＋１とすると（★）１／ｋ＋１＜１／ｘ＜１／ｋ。 ∫（ｋ～ｋ＋１）（１／ｋ＋１）ｄｘ＜∫（ｋ～ｋ＋１）（１／ｘ）ｄｘ＜∫（ｋ～ｋ＋１）１／ｋｄｘ ⇔１／ｋ＋１＜∫（ｋ～ｋ＋１）（１／ｘ）ｄｘ＜１／ｋ（(1)） (1)についてｋ＝１からｎ－１として足し合わせると、 （以下略） 解答を読んでその中心的話題はりかいできたのですが、★のようなことを勝手に仮定してもよいのかということに戸惑っております。 なぜこのような仮定をしてもよいのでしょうか?
- tjag
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＞★のようなことを勝手に仮定してもよいのか ＞ということに戸惑っております。 それは仮定ではありません。 ｘについての関数1／ｘが単調減少（反比例の関数） なので、ｘが積分範囲であるｋ＜ｘ＜ｋ＋１にある限り 必然的に★になるのです。
その他の回答 (2)
#1です。 #2を見て気づきましたが、#1では （★）＝”１／ｋ＋１＜１／ｘ＜１／ｋ” と解釈して回答を書いています。 しかし、仮に質問者が ”ｋ＜ｘ＜ｋ＋１とすると”＝（★） の意味で考えていたとしても了解 してもらえるだろうと思っています。 もし了解できなければ補足を書いて ください。 もし補足やお礼の書き方（操作方法） がわからないなら一旦この質問を 締めきって質問しなおしてください。
- Tacosan
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「★のようなこと」ってのは, 具体的には何?
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お礼
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