積分の問題です。

質問

nを自然数とする。I(n)=∫(0→1)(1-x^2)^n/2dxのとき、次の問いに答えよ。

I(n+2)=(n+2)/(n+3)I(n)を示せ。

という問題です。

I(n+2)=∫(0→1)(1-x^2)(1-x^2)^n/2dx
=∫(0→1)(1-x^2)^n/2dx-∫(0→1)x^2(1-x^2)^n/2dx
=I(n)-∫(0→1)x^2(1-x^2)^n/2dx
=I(n)-∫(0→1)x^2{-1/x(n+2)*(1-x^2)^n+2/2}'dx
=I(n)-∫(0→1)2/(n+2)*(1-x^2)^n+2/2dx
=I(n)-2/(n+2)I(n+2)

したがって、I(n+2)+2/(n+2)I(n+2)=I(n)
∴I(n+2)=(n+2)/(n+4)I(n)

となり、問いと一致しません。
どこが間違っているのか、指摘して頂ければありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

noname#133363

どうしてかっていうと
((n+2)/2)*(-2x)*(1-x^2)^(n/2)= {(1-x^2)^((n+2)/2)}'
という知識を利用するためなのです。

この両辺にx掛けたり、-(n+2)で割ったりすると、被積分関数の別表現
x^2(1-x^2)^(n/2)=x {-(1-x^2)^((n+2)/2) / (n+2)}'
が得られるからね。

回答No.1

noname#133363

ちゃんと追えてるか自信ない。
特に
I(n+2)
=...
=I(n)-∫(0→1)x^2{-1/x(n+2)*(1-x^2)^n+2/2}'dx
=...
がよく分からなかった。
ここの積分は
∫(0→1) x {-(1-x^2)^((n+2)/2) / (n+2)}' dx
と見て部分積分するんじゃないでしょーか?

補足

回答ありがとうございます。
そう考えると答えにたどり着きますね！
分かりにくい質問になってしまい申し訳ありませんでした…。

でもどうしてx^2をわざわざ分解して考えるのでしょうか？？