（x-α）^n・（β-x）^mの積分、区間α→β

質問

I (m, n) = ∫(x -α)^n(β- x)^m dx　 (m, nは自然数、積分区間α→β)
について
(1)　I (m+1, n-1)を I (m, n)を用いて表せ。
(2)　I (m, n)を求めよ。
という問題です。

http://okwave.jp/qa/q2673512.html
を参考にして計算したところ
(1)　I (m+1, n-1) = {(m+1)/n} ・I (m, n)
(2)　I (m, n) = n!/{(m+1)(m+2)…(m+n)}・(β-α)^(m+n+1)
となったのですが合ってますでしょうか。

また、(1)の問いがあるということは(1)の答えを利用して(2)を求められるのではないかと思うのですが、
その場合どのように回答を記述すればよろしいのでしょうか。
自分では思いつきませんでした。
(上の答えは(1)を用いずにガリガリ計算して出しました。)

ご回答よろしくお願いいたします。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

(1) だと、I(m,n) から、I(m+1,n-1) を求める式になっているから、使い勝手が悪いんですよね。

ならば、逆方向の等式を考えてみるのでは？

I(m,n) = {n/(m+1)}*I(m+1,n-1) だから、

I(m,n) = {n/(m+1)}*I(m+1,n-1) = {n/(m+1)}*{(n-1)/(m+2)}*I(m+2,n-2)
= … = {n/(m+1)}*{(n-1)/(m+2)}*…*{1/(m+n)}*I(m+n,0)
で、I(m+n,0) を求めれば、できますよね。

あ、(1) を利用せずに、ガリガリというのは、このプロセスを、全部、部分積分しながらやった、ということでしょうか？

お礼

御回答ありがとうございました。

補足

部分積分しながらやった、ということで合っています。
部分積分の部分をIで置けばよかったのですね。
回答も大分すっきりしそうです。

回答No.1

Tacosan

(2) で「(1) を用いずにガリガリ計算」て, 一体どうやったんだろう....
I(m+n, 0) はそのまま計算できるから, そこから帰納法でしょうね.

お礼

御回答ありがとうございました。

補足

ガリガリというのはWiredLogicさんのおっしゃったように部分積分を繰り返してということです。
わかりにくい表現で申し訳ございませんでした。

帰納法を使わないと回答としては正しくないでしょうか？
WiredLogicさんが記述して下さったように、
I(m,n) = {n/(m+1)}*I(m+1,n-1) = {n/(m+1)}*{(n-1)/(m+2)}*I(m+2,n-2)
= … = {n/(m+1)}*{(n-1)/(m+2)}*…*{1/(m+n)}*I(m+n,0)
にI(m+n,0)を計算して代入するだけでは回答として不十分でしょうか？