[問]fが[0,1]で積分可能ならlim[n→∞]n^2∫[0..1/n^3]f(x)=0である事を示せ

質問

こんにちは。

[問]fが[0,1]で積分可能ならlim[n→∞]n^2∫[0..1/n^3]f(x)=0である事を示せ。
[証]
積分の定義(?)からf(x)は[0,1]で有界である。
従って、∃m,M∈R;m≦f(x)≦M(for ∀x∈[0,1])と言え、
m(1/n^3-0)≦∫[0..1/n^3]f(x)≦M(1/n^3-0)
m/n^3≦∫[0..1/n^3]f(x)≦M/n^3
よって
n^2m/n^3≦n^2∫[0..1/n^3]f(x)≦n^2M/n^3
m/n≦n^2∫[0..1/n^3]f(x)≦M/n
よって
lim[n→∞]m/n≦lim[n→∞]n^2∫[0..1/n^3]f(x)≦lim[n→∞]M/n
lim[n→∞]m/n=lim[n→∞]M/n=0より
lim[n→∞]n^2∫[0..1/n^3]f(x)=0

となったのですがこれで正しいでしょうか?

回答No.3

koko_u_ · ベストアンサー

>書籍には積分は閉区間で連続の関数で定義されると書いてありますが、、、
マジかい。普通は

リーマン積分の定義 → 閉区間で連続ならリーマン積分可能

って感じだと思うんだけど。

>リーマン積分と通常の積分(コーシーの積分)とは違うのでは。
コーシーの積分なるものは寡聞にして聞かないですね。
あなたが補足に書いた積分の定義にも連続性は不要だと思いますよ。

補足

お返事有難うございます。

> あなたが補足に書いた積分の定義にも連続性は不要だと思いますよ。

そうでしたか。そうしますと、リーマン積分(通常の積分)の定義での関数f(x)は(連続かどうかではなく)有界である事が大前提になっているですね。

、、、という事で、
私の証明は正しいのですね。

回答No.5

koko_u_

>(どの書籍も連続か有界という条件が与えられてますが)
うーん。基本的に「余分な」条件は不要だと思うのですけどね。

Erika111 さんの記載した「定義」には f(x) が [a, b] で定義されていればそれで良く、
有界であることは何ら使用されていないから、わざわざ前提に置く理由がないと思うのですよ。

お礼

ごコメント誠に有難うございます。
色々調べてみました。
「微分積分教科書」齋藤正彦著や「微分積分学要論」青木利夫著
にも
f:[a,b]→Rが非連続且つ非有界での定義は記されておりませんでした。
非連続や非連続が前提なら
先ず定積分の下限和と上限和が一致するという議論は出来ないのでは?

でもkoko_u_様は
『f(x)が[a,b](a<b)で定義されていて,{{x_n};a=x_0<x_1<…<x_n=bとなる増加有限数列
：
と書く』
の方が正しい(というか妥当)と仰るのですよね。このように定義しておけば不連続関数の積分や広義積分についても語れますものね。koko_u_様の定義は拡張版なのですね。

、、、としますと結局,話しは最初に戻ってしまいますがfに対して連続や有界が無保証なのなら
『fが[0,1]で積分可能ならlim[n→∞]n^2∫[0..1/n^3]f(x)=0である事を示せ』
はどのようにして証明できますでしょうか?

是非ともご回答期待しております。m(＿ ＿)m

補足

ごコメント誠に有難うございます。

> Erika111 さんの記載した「定義」には f(x) が [a, b] で定義されていればそれで
> 良く、

『f(x)が[a,b](a<b)で定義されていて,{{x_n};a=x_0<x_1<…<x_n=bとなる増加有限数列
：
と書く』

が正しいリーマン積分の定義なのですね。しっかり憶えておきます。

> 有界であることは何ら使用されていないから、わざわざ前提に置く理由がないと思う
> のですよ。

有界である事が使えないのなら
今回の証明はどのようにして証明できますでしょうか?

回答No.4

koko_u_

>そうしますと、リーマン積分(通常の積分)の定義での関数f(x)は
>(連続かどうかではなく)有界である事が大前提になっているですね。
違う。有界であることも不要。

補足

> 違う。有界であることも不要。

すると
『f(x)が[a,b](a<b)で定義されていて,{{x_n};a=x_0<x_1<…<x_n=bとなる増加有限数列
,(n∈N)}=:X(このXの元を分割ともいう)とし,
δ_{x_n}=max{x_(i-1)-x_i;i=1,2,…,n}とする。
この時,

Σf(ξ_i)(x_i-x_(i-1))
δ_{x_n}→0

が収束する時(ξ_i∈[x_(i-1),x_i]。δ_{x_n}の{x_n}∈Xはδ_{x_n}が0に近づくよ
うな分割{x_i}を選んでいく)
fは[a,b]で積分可能だといい。この収束値を

b
∫f(x)dx
a

と書く』

がリーマン積分の定義でしょうか?
(どの書籍も連続か有界という条件が与えられてますが)

上記の定義も間違いならkoko_u_様がご存知のリーマン積分の定義のf(x)の条件をご教示いただけましたら幸いでございます。

回答No.2

koko_u_

>積分可能の定義は
>『f(x)が[a,b](a<b)で連続である時,{{x_n};a=x_0<x_1<…<x_n=bとなる増加有限数列,
>(n∈N)}=:X(このXの元を分割ともいう)とし,
>δ_{x_n}=max{x_(i-1)-x_i;i=1,2,…,n}とする。

リーマン積分可能の定義に「連続性」は含まれません。
したがって f(x) は有界とは限りません。

補足

> リーマン積分可能の定義に「連続性」は含まれません。
> したがって f(x) は有界とは限りません。

書籍には積分は閉区間で連続の関数で定義されると書いてありますが、、、

リーマン積分と通常の積分(コーシーの積分)とは違うのでは。
今回の題意ではリーマン積分可能でなく積分可能と言っているので私の方針で宜しいのではと思うのですが。。。
勘違いしておりますでしょうか?

回答No.1

koko_u_

>積分の定義(?)からf(x)は[0,1]で有界である。
自分で怪しい箇所に気付いているようですね。
積分の定義を補足にどうぞ。

補足

積分可能の定義は
『f(x)が[a,b](a<b)で連続である時,{{x_n};a=x_0<x_1<…<x_n=bとなる増加有限数列,(n∈N)}=:X(このXの元を分割ともいう)とし,
δ_{x_n}=max{x_(i-1)-x_i;i=1,2,…,n}とする。
この時,

Σf(ξ_i)(x_i-x_(i-1))
δ_{x_n}→0

が収束する時(ξ_i∈[x_(i-1),x_i]。δ_{x_n}の{x_n}∈Xはδ_{x_n}が0に近づくような分割{x_i}を選んでいく)
fは[a,b]で積分可能だといい。この収束値を

b
∫f(x)dx
a

と書く』

です。

閉区間で連続なら有界なので一応,私の証明で正しいのでしょうか?