三角関数の定積分のlim です。

質問

知人から出された問題で、何でも東工大の過去問のようです。

［問題〕
lim[n→∞］∫(0~π/2) {sin∧2(nx)／(1＋x)}dx
を求めよ。

nが入って、定積分がお手上げです。どなたか解答していただけませか。どうぞよろしくお願いします！

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

さすがに大学入試でRiemann-LebesgueとかFourierとかは反則なので...

(sin(nx))^2 = (1/2) * (1+cos(2nx))なので、
∫[0,π/2] {(sin(nx))^2 / (1+x)} dx = ∫[0,π/2] (1/2) (1/(1+x)) dx + ∫[0,π/2] (1/2) (cos(2nx) / (1+x)) dx
第一項は、 (1/2) log(1+π/2)。
第二項は、一回部分積分をつかい、 [ cos(2nx)の方を先に積分し、後で(1+x)の方を微分する ]
∫[0,π/2] (1/2) (cos(2nx) / (1+x)) dx = (1/2)[ (1/2n) sin(2nx)/(1+x)]_0^{π/2} (A) + (1/4n)∫[0,π/2] sin(2nx)/((1+x)^2) dx (B)

(A)の方は n→∞で0となる。
(B)の方も (1/(4n))∫[0,π/2] (-1)/((1+x)^2)dx ≦(1/(4n))∫[0,π/2] sin(2nx)/((1+x)^2) dx ≦ (1/(4n))∫[0,π/2] (1)/((1+x)^2)dx であって、はさみうちの関係から n→∞で0となる。

よって、答えは (1/2) log(1+π/2)となる。

お礼

はさみうちまで、わかりやすく解答していたき、本当にありがとうございます！さすがだと思います。

回答No.3

noname#231363

ANo.1の回答者です。

参考URLにおけるANo.3では、「No.2様の変形の最後の２項目を置換してから部分積分すればはさみうちで評価することができます」とあり、私はこの点を踏まえて回答したつもりです。

回答No.1

noname#231363

全く同じ質問が、参考URLにあります。
ただし、式の中で「dx」が欠落していますが。

参考URL：

https://soudan1.biglobe.ne.jp/qa4596166.html