三角関数の定積分

質問

ある問題の回答で、サインのN乗のゼロから二分のパイまでの積分と、コサインN乗の同じ範囲の積分は等しい、ということが説明抜きに書いてありました。これは自明のことなのでしょうか？

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

自明といってよいでしょう。

sin(x)とcos(x)は[0,π/2]においてx=π/4に対して対称です。これはN乗しても同じです。
ですのでsin^N(x),cos^N(x)とx軸、x=0とx=π/2で囲まれたグラフはx=π/4に対して対称ですので面積も等しい。

回答No.7

rnakamra

#5のものです。

>対称の位置にあるx1とx2に対する sin(x1), cos(x2)の値が同じなのだから、それをn乗したものの値も同じである、つまり対称である、という理解でいいでしょうか。

それでよい。

回答No.6

Tacosan

「単なるsin^n(x)は置換積分できない」というなら別の置き換え方を考えればいい.

積分した値が必要なわけじゃないんだから.

回答No.5

rnakamra

#2のものです。

#3の方へ。
＞面積をn乗するのではなくn乗して積分するのであって、面積が等しいからと言って

n乗の積分が等しいといえますか。もう一つ釈然としません。

違う、違う。
N乗したものの積分は、N乗したもののグラフがつくる面積ですよね。
N乗したものグラフの面積が等しい=N乗したものの積分の値が等しい
ということです。sin(x)とcos(x)のグラフがつくる面積が等しい、ということから議論しているわけではありません。

sin(x)とcos(x)のグラフはx=π/4を中心に対象です。これはN乗したグラフでも同じです。
だからN乗したグラフでも[0,π/2]の部分の面積は等しいよね、ということなのです。

補足

対称の位置にあるx1とx2に対する sin(x1), cos(x2)の値が同じなのだから、それをn乗したものの値も同じである、つまり対称である、という理解でいいでしょうか。

回答No.4

Tacosan

置換積分すれば容易にわかる.

補足

sin^n(x)cos(x)という形であれば置換積分できるが、単なるsin^n(x)は置換積分できない、という文脈での問題なのですが・・・・・

回答No.3

spring135

#1さん、＃2さん、

私も皆さんと同じように考えていたのですが

面積をn乗するのではなくn乗して積分するのであって、面積が等しいからと言って

n乗の積分が等しいといえますか。もう一つ釈然としません。

回答No.1

Hutson

cosとsinのグラフを　０　から　π/2 まで書いてみてください。
そうすると　cos と　sin は面積は全く等しいですよね。

お礼

回答ありがとうございました。