lim(n→∞) Σ(k=1,n) n*(5/6)^n

質問

lim(n→∞) Σ(k=1,n) n*(5/6)^n
この計算はどう解けばいいのでしょうか？
Σの部分の計算ド忘れしてしまいました。
Σr^n=r(r^n-1)/(r-1)
Σn=n(n+1)/2
は覚えてますが、確か中身が掛け算されてるのってΣとΣで分解できないですよね？
つまり、Σf(x)*g(x)≠Σf(x)*Σg(x)ですよね？
計算に躓いてこまってます。よろしくお願いします。

回答No.2

gotouikusa · ベストアンサー

1つの計算法を添付いたします。ご参考になさってください。
但し(この方法を使う場合)厳密には級数の一様収束性を証明する必要があるかもしれません。

お礼

なるほど、このようなやり方でも求められるのですね。
微分するとは…もうちょっと詳しく調べてみます。
ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

大学生は、No.2 で ok ですね。
級数を項別微分するためには、一様収束していることが必要ですが、
ベキ級数なら、収束半径の中では、一様絶対収束ですからね。

高校生なら、S[n] = Σ[k=1…n] k・(5/6)^k と置いて、

S[n+1] - (5/6)・S[n] = Σ[k=1…n+1] k・(5/6)^k - (5/6) Σ[k=1…n] k・(5/6)^k
= 1・(5/6)^1 + Σ[k=1…n] (k+1)・(5/6)^(k+1) - Σ[k=1…n] k・(5/6)^(k+1)
= 1・(5/6)^1 + Σ[k=1…n] (5/6)^(k+1)
= 5/6 + (5/6)^2・{ 1 - (5/6)^n }/{ 1 - (5/6) }
= 30/6 - 5・(5/6)^(n+1)

これは定石。

この式を
(S[n+1] - 30)/(5/6)^(n+1) - (S[n] - 30)/(5/6)^n = -5
と変形することに気づけば、
(S[n] - 30)/(5/6)^n - (S[1] - 30)/(5/6) = -5(n-1)
すなわち、
S[n] = (S[1] - 30)(5/6)^(n-1) - 5(n-1)(5/6)^n + 30

よって、
lim[n→∞] S[n] = 0 - 0 + 30

お礼

大学生になってもこちらのほうが理解しやすいかもしれません。
ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

（等差数列）×（等比数列）の項に対する和を求めることになります。
この和は、等比数列の和の公式を導出するのと同じ方法で求められます。

一度調べてみてください。＾＾

お礼

う～ん。
具体的にお願いしたかったですが…。
どうもありがとうございました。