何故lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1?

質問

識者の皆様おはようございます。

lim[n→∞](a_n-1)/(a_n+1)=0⇒lim[n→∞]a_n=1
を示すのに困っています。
定義に従って書くと仮定は
0<∀ε'∈R,∃m'∈N;m'<k⇒|(a_k-1)/(a_k+1)-0|<ε'…(*)
となり、
これから
0<∀ε∈R,∃m∈N;m<k⇒|a_k-1|<ε…(**)
を導かねばならないのですがなかなか(*)から(**)を導けません。
どのようにして導けますでしょうか?

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

対偶を使えばいいでしょ。つまり(**)の否定から(*)の否定を導けば良い。

　(**)を略記なしに書くと、
∀ε((ε∈R∧0<ε)⇒∃m(m∈N∧∀k((k∈N∧m<k)⇒|a_k-1|<ε)))
であり、その否定は
∃ε((ε∈R∧0<ε)∧∀m(m∈N⇒∃k((k∈N∧m<k)∧((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)))
です。質問者さん流に書けば
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…～(**)
とでもなりますか。すると(*)の否定は
0<∃ε'∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')…～(*)
となりましょう。

　で、～(**)⇒～(*)を証明すりゃ良い。まず～(**)だとすると、ε, m, kを固定したとき、
[1] (a_k-1)≧εの場合、(ANo.1の計算を利用すると）
(a_k-1)/(a_k+1) = 1-2/(a_k +1)≧1-2/(2+ε)＞0
[2] -(a_k-1)≧εの場合も同様に、
-(a_k-1)/(a_k+1) = -(1-2/(a_k +1))≧2/(2-ε)-1＞0
です。
　さてここで、
0<ε'∧((a_k-1)/(a_k+1)≧ε'∨-(a_k-1)/(a_k+1)≧ε')
が成り立つようなε'（ただしε'は、m, kに依らずεだけで決まる）の具体例をひとつ構成すれば良いわけです。

お礼

詳細なご説明有難うございます。

> です。質問者さん流に書けば
> 0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;((a_k-1)≧ε∨-(a_k-1)≧ε)…～(**)
> とでもなりますか。

否定は
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;偽=[|a_k-1|<ε]…～(**)
じゃないですかね。これを書き換えると
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;偽=[-ε<a_k-1∧a_k-1<ε]…～(**)
だから
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;真=[(a_k-1)≧-ε∨(a_k-1)≦ε]…～(**)
つまり、
0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;(a_k-1)≧-ε∨(a_k-1)≦ε…～(**)
と思うのですが、、、勘違いしてますでしょうか??

回答No.4

stomachman

ANo.2へのコメントについてです。

> 0<∃ε∈R,∀m∈N, m<∃k∈N;(a_k-1)≧-ε∨(a_k-1)≦ε…～(**)
>と思うのですが、、、勘違いしてますでしょうか??

はい、勘違いです。
(a_k-1)≧-ε∨(a_k-1)≦εってところは|a_k-1|<εの否定になってなくちゃいけないでしょ？でも、例えばε=2, (a_k-1)=-1としてみると、|a_k-1|<εは真で(a_k-1)≧-ε∨(a_k-1)≦εも真。否定になってません。

お礼

どうも有り難うございます。
お陰様で助かりました。

回答No.3

koko_u_

考えすぎでは？

b_n = (a_n - 1)/(a_n + 1) とすると b_n -> 0 なんですね？

a_n = (-b_n - 1)/(b_n - 1) -> (-0-1)/(0-1) = 1 じゃろ？

お礼

どうも有り難うございます。
お陰様で助かりました。

回答No.1

jamf0421

野蛮に割り算をすれば
(a_n -1)/(an +1)=1 - 2/(a_k +1)
ですね。
左辺がゼロになるなら右辺の第二項は１になるのでa_kは1になります。
これをカッコよく説明できればよいのでは？
（お粗末な議論ですみません。）

お礼

どうも有り難うございます。
お陰様で助かりました。