積分の問題です

質問

問題
∫{(lnx)^n}dx を求めよ．但しnは自然数．
という問題です．
お願いします．

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

まずは、n=1の場合から、順に部分積分法を使って積分してみて下さい。

n=1の場合
　I[1]=∫{lnx}dx=∫{1*lnx}dx=xlnx-∫x(lnx)'dx=xlnx-∫x(1/x)dx=xlnx-x+C
n=2の場合
　I[2]=∫{(lnx)^2}dx=∫{1*(lnx)^2}dx=x(lnx)^2-∫x((lnx)^2)'dx
=x(lnx)^2-∫x(1/x)*2lnx dx=x(lnx)^2-2∫lnx dx
=x(lnx)^2-2I[1]=x(lnx)^2-2xlnx+C
n=3の場合
　I[3]=∫{(lnx)^3}dx=∫{1*(lnx)^3}dx=x(lnx)^3-∫x((lnx)^3)'dx
=x(lnx)^3-∫x(1/x)*3(lnx)^2 dx=x(lnx)^3-3∫(lnx)^2 dx
=x(lnx)^3-3I[2]=x(lnx)^3-3x(lnx)^2+6xlnx+C

n(≧2)の一般の場合
　I[n]=x(lnx)^n -nI[n-1]=　?　…(★)

といった関係が導けます。(★)の？はどうなるでしょう？　考えて見てください。
(★)の式は漸化式になっていることに注意すれば、？が有限項のΣの形で表すことが出来るでしょう。お分かりかな？　
Σ表現を上の計算方法を参考にして、類推して自力で導いてみて下さい。

回答No.1

Ae610

∫{(lnx)^n}dx = x・{Σ[k=0～n](－1)^k・(n!(logx)^(n-k)/(n－k)!)}