- ベストアンサー
積分できるのかどうか教えてください。
∫[0,π](sinx)^3(sinnx)dx(nは自然数) は手計算で求められますか? 教えてください。
- みんなの回答 (4)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
その他の回答 (3)
- KappNets
- ベストアンサー率27% (1557/5688)
- looker1986
- ベストアンサー率48% (30/62)
- looker1986
- ベストアンサー率48% (30/62)
関連するQ&A
- 三角関数の積分でどこが間違っていますか
nは自然数としてlim n→∞∫{0~nπ](e^-x・|sinx|)dx を解く問題です。0~πなら|sinx|の絶対値がとれるので∫{0~π](e^-x・sinx)dxを解いて(e^-x/2)+1/2、よって∫{0~nπ](e^-x・|sinx|)dx=n∫{0~π](e-x・sinx)dx と考えて∫{0~nπ](e-x・|sinx|)dx=n{(e^-x/2)+1/2}よってlim n→∞∫{0~nπ](e^-x・|sinx|)dx は∞。しかし答えは1/2・(e^π +1)/(e^π -1)です。よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数III 積分 小門集合
(1) lim[n→∞]∫[0,nπ]e^(-x)|sinx|dx (3) lim[n→∞](1/n^2)∫[0,nπ]x|sinx|dx (4) ∫[0,π]x|sinnx|dx 解き方をお願い致します。 因みに、(1)は ∫[kπ, (k+1)π] e^(-x)|sinx|dx=e^(-kπ)(1+e^-π)/2 Σ[k=0,∞] e^(-kπ)(1+e^-π)/2=(1+e^-π)/2(1-e^-π) とやって間違ってました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の計算ですが…
I_n =∫(0~Π/2) {sin(nx)/sinx} dx (書き方が合ってるか分かりませんが" _ "の後ろのものは右下に付いてる小さいやつです。名前知らなくてすみません)、とするとき I_(2n+2) -I_(2n) の値を求めよ という問題があって、答えが0になるはずなんですけど、なりません。 一応やったのがこうです。 I_(2n+2)-I_(2n) =∫(0~Π/2){sin(2nx+2x)/sinx}dx-∫(0~Π/2){sin(2nx)/sinx} dx =∫(0~Π/2)[{sin(2nx+2x)-sin2nx}/sinx]dx sinA-sinB= 2sin{(A-B)/2}cos{(A+B)/2}より =∫(0~Π/2) {2 sinx cos(2nx+x)}/sinx dx =2∫(0~Π/2) cos(2nx+x) dx t=2nx+xとおくとdx=dt/(2n+1) x:0→Π/2 ⇒ t:0→nΠ+Π/2 =2/(2n+1)∫(0~nΠ+Π/2)costdt ={2/(2n+1)}*[sint](0~nΠ+Π/2) ={2/(2n+1)}*sin(nΠ+Π/2) となってしまいます。どうすれば良いでしょうか? お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分問題
A=∫[0→π/2](sin^3x)/(sinx+cosx)dx B=∫[0→π/2](cos^3x)/(sinx+cosx)dx (1)A+Bを計算せよ。 (2)AとBが等しいことを示せ。 (3)Aの値を求めよ。 (1)A+B=∫[0→π/2]{(sin^3x)+(cos^3x)}/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2](1+sinx+cosx)/(sinx+cosx)dx =∫[0→π/2][{1/(sinx+cosx)}+1]dx =∫[0→π/2][{1/√2sin(x+π/4)}+1]dx =[0→π/2][1/{√2log tan(x/2-π/8)}+1]dx =1/{√2log tan(π/8)} + π/2 - 1/{√2log tan(-π/8)} =(2/√2)log tan(π/8) + π/2 になったのですがこのような方法でよろしいのでしょうか? (2)に関しては、どのようにして行ってよいのかわかりません。 (3)もどうようにわかりません。 教えて頂けないでしょうか? よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
やっぱり地道にやるしかないみたいですね。 nの値の場合分けを考えてませんでした。 解決しました。ありがとうございました。