積分

質問

∫{∞から-∞}(sinx/x-1)dx
これの特異点はx=1ですよね？
留数はe^iですか？
積分ルートの決め方および解き方どなたか教えてください

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

チェックを忘れていたのか，見落としで，2つ目の補足に気づかず失礼しました.

z＝1　は1位の極で，1-εから1+εまで半径εの円上を時計回り(つまり負の向きに1／2回転)すると，＃２の解答中の通り
(-1/2)*2πiRes[f,1]=-πie^i　
で良いと思います.

もし直接出すのなら，
z=1+εe^(iθ)とおくと，εは固定するので定数で, dz＝iεe^(iθ)dθ で，
f(z)=exp(iz)/(z-1)=exp(i+iεe^(iθ))／εe^(iθ)　をθ＝π　から　θ＝０まで積分して，ε→0に注意すると
I2=∫(θ＝π to θ＝０)(ie^i)dθ＝－π*(ie^i)=-πie^i　
です．

お礼

どうも丁寧に有難うございました。
どうにかやり方がわかりました(時間がとてもかかったけど）
無事に単位ももらえました(笑）
ほんとに感謝感謝m__m

回答No.3

oshiete_goo

#2でI4→0 (R→∞)を, さも当然そうに書きましたが,
実はそう自明に思えないかも知れないので, 念のため補足です.

|z|→∞のとき 1/|z-1| →0 がいえるので, (1/(z-1) →0であり)
Jordanの予備定理を適用できて,
I4=∫(+R から　-Rまで半径Rの円上を反時計回り){1/(z-1)}e^(iz)dz　→0　(R→∞)
です.
Jordanの不等式による証明そのものも(一度は)確認しておいて下さい.

回答No.2

oshiete_goo

失礼しました.　(sinx)/(x-1)　のようですね.
お詫びに略解(の積もり)を書きますので，叩き台にしてください．

(与式)＝∫{-∞ to ∞}(sinx)/(x-1)dx より
I=p.v.∫{-∞ to ∞}exp(ix)/(x-1)dx
を考えて，その虚部が与式です．

f(z)=exp(iz)/(z-1)　とし,　R≫１だとして,
z=1の極を避けて積分路Cをとると(以下参照)

0=∫_{C}fdz=I1+I2+I3+I4

ただし積分路Cは次の通り
I1=∫(-R　to　1-ε)fdz =∫(-R　to　1-ε)fdx　[実軸上]
I2=∫(1-ε から　1+εまで半径εの円上を時計回り[してからε→0])fdz →(-1/2)*2πiRes[f,1]=-πie^i　
(∵Res[f,1]=lim_(z→1)(z-1)f(z)=e^i)
I3=∫(1+ε　to　+R)fdz =∫(1+ε　to　+R)fdx　[実軸上]
I4=∫(+R から　-Rまで半径Rの円上を反時計回り)fdz　→0　(R→∞)

すると
I=I1＋I3より
0=I-πie^i
⇔　I=πie^i=πi(cos1+isin1)=π(-sin1+icos1)

求める値はこれの虚部より
(与式)＝π・cos1

補足

I2=∫(1-ε から　1+εまで半径εの円上を時計回り[してからε→0])fdz →(-1/2)*2πiRes[f,1]=-πie^i
πie^iまでどうやって計算すればいいかわかりません；；
教えてください…

回答No.1

oshiete_goo

被積分関数は
(sinx/x)-1
ですか
sinx/(x-1)
ですか? [それとももっと他の形?]
ご質問の文だと後者のように解釈されますが, そうすると出題意図が不明という気がするのですが...

補足

sinx/(x-1) です。ややこしい書き方ですみません。
それで－∞から∞でした。
http://www.fml.pu-toyama.ac.jp/~karaki5/14final-9.htm
のように解けばいいと思うのですが
書いてあることが理解できません。
教えてください。お願いします。
水曜までなんです(泣）