∮[0→1/2]2/((x-1)(x^2+1))d

質問

∮[0→1/2]2/((x-1)(x^2+1))dxの答えが-Tan^(-1)(1/2)-(1/2)log5+2log3らしいのですが、log3がどこから出てくるのかよく分かりません。途中式も含めて教えて下さい。

回答No.3

178-tall

御題。
　 1/2
　∫ 2*dx/{ (x+1)(x^2+1) }
　　0

… ならば？

被積分式の和分解。
　2/{ (x+1)(x^2+1) }= A/(x+1) + (Bx+C)/(x^2+1)　　…(1)
両辺に (x+1) を乗じて、
　2/(x^2+1) = A + (Bx+C)(x-1)/(x^2+1)
x→-1 として、
　1 = A
これを (1) へ放り込み、
　2/{ (x+1)(x^2+1) } - 1/(x+1) = { 2 - (x^2+1) }/(x+1)(x^2+1)
　= -(x^2-1)/(x-1)(x^2+1) = -(x+1)/(x^2+1)
(つまり B = C = -1)

被積分関数
　2/{ (x+1)(x^2+1) } = 1/(x+1) - (x+1)/(x^2+1)
　= 1/(x+1) - x/(x^2+1) - 1/(x^2+1)
と分けて、
　　↓　積分
　1/2
　［ LN(x+1) - (1/2)LN(x^2+1) - arctan(x) ］
　0
　= LN(3/2) - (1/2)LN(5/4) - π/4
　= LN(3/2) - (1/2)LN(5) + LN(2) - π/4
　= LN(3) - (1/2)LN(5) - π/4

… かな？

回答No.2

info33

> ∮[0→1/2]2/((x-1)(x^2+1))dx
> の答えが
> -Tan^(-1)(1/2)-(1/2)log5+2log3 ... 間違い

2/((x-1)(x^2+1))=1/(x-1) - (x+1)/(x^2+1)=1/(x-1) - x/(x^2+1) - 1/(x^2+1)

I= ∫ [0→1/2]2/((x-1)(x^2+1))dx
=∫ [0→1/2] {1/(x-1) - x/(x^2+1) - 1/(x^2+1)} dx
=[ln |x-1|] [0→1/2] - [(1/2) ln|x^2+1|] [0→1/2] - [tan^-1(x)] [0→1/2]
= {ln(1/2) -ln(1)} - (1/2){ln(5/4)-ln(1)} - {tan^-1(1/2)-tan^-1(0)}}
= - ln(2) - (1/2)ln(5) + ln(2) - tan^-1(1/2)
= -(1/2) ln(5) - tan^-1(1/2) .... 答え

補足

大学のテキストにそう書いてるのですが...？

回答No.1

178-tall

2/{ (x-1)(x^2+1) } = 1/(x-1) - (x+1)/(x^2+1) と和分解でき、
LN5 は x/(x^2+1) の積分から、LN3 は 1/(x-1) の積分から出てくるようです。

補足

1/(x-1)の途中式を教えていただけますか？