数学問題

質問

nをx以下の最大の整数、mをx以上の最小の整数とした場合、f(x)=min{x-n,m-x}。
xをf(x)=f(2x)を満たす正の実数とした時にf(3x)の値は何ですか？
可能であれば、詳細な回答を頂ければ助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

proto · ベストアンサー

場合分けします。

(1)xが整数の時
　　x-n=0 , m-x=0
　　f(x) = min{n-x,m-x} = min{0,0} = 0
このとき2xもまた整数で、同様に
　　f(2x) = 0
よってxが整数の時、f(x)=f(2x)を満たす。
このとき
　　f(3x) = 0

(2)xが、x以下の最大の整数nと0<a<1/4なる実数aを用いて
　　x = n+a
と書けるとき
　　x-n=a , m-x=1-a
また0<a<1/4より、3/4<1-a<1だから、a<1-a
　　f(x) = min{a,1-a} = a

　　2x = 2n+2a
で0<2a<1/2だから
　　2x-n'=2a , m'-2x=1-2a
また0<2a<1/2より、1/2<1-2a<1だから、2a<1-2a
f(2x) = min{2a,1-2a} = 2a

f(x)=f(2x)より
　　a = 2a
　　a = 0
これは仮定0<a<1/4を満たさない。

(3)xが、x以下の最大の整数nを用いて
　　x = n+1/4
と書けるとき
　　x-n=1/4 , m-x=3/4
　　f(x) = min{1/4,3/4} = 1/4

　　2x = 2n+1/2
　　2x-n'=1/2 , m'-2x=1/2
　　f(2x) = min{1/2,1/2} = 1/2
よってx=n+1/4のときf(x)=f(2x)を満たさない。

(4)xが、x以下の最大の整数nと1/4<a<1/2なる実数aを用いて
　　x = n+a
と書けるとき
　　x-n=a , m-x=1-a
また1/4<a<1/2より、1/2<1-a<3/4だから、a<1-a
　　f(x) = min{a,1-a} = a

　　2x = 2n+2a
で1/2<2a<1だから
　　2x-n'=2a , m'-2x=1-2a
また1/2<2a<1より、0<1-2a<1/2だから、2a>1-2a
f(2x) = min{2a,1-2a} = 1-2a

f(x)=f(2x)より
　　a = 1-2a
　　a = 1/3
これは仮定0<a<1/4を満たす。

このとき
　　f(3x) = 0

この調子で以下同様、どんどん場合分け。
泥臭いけど確実に解ける。

お礼

ご回答ありがとうございます。
詳細で、とても分かりやすいです。

回答No.3

info22

n=floor(x),m=celling(x)なので
f(x)=min(x-floor(x),celling(x)-x)　（黒線のグラフ)
g(x)=x-floor(x)　（緑線のグラフ）
h(x)=celling(x)-x (水色のグラフ)
などのグラフを描いて見ました。
f(x)=f(2x)を満たすxは　y=0または1/3の時で
これを満たす　x=k/3（kは整数)に対して
f(3x)=0
となります。　

（参考URL）床(floor)関数と天井(celling)関数
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%8A%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A4%A9%E4%BA%95%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

ご回答ありがとうございます。
図解で、とても理解しやすくなりました。

回答No.1

koko_u_u

f(x) の幾何学的な意味を考えて補足にどうぞ

お礼

ご回答ありがとうございます。