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数学の問題がわからないので教えてください
次の数学の問題の解き方を教えてください。 F_1(ｘ)＝sinx+cosx, F_n+1(ｘ)=F_n(ｘ)F'_n(ｘ) のとき (1)F_n(ｘ)を正弦にに直せ。 (2)ｍを正の整数とするとき、F'_4m(0)の値を求めよ です。 途中式もお願いします
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nを変化させた時に、書きやすいので、 F_n(x) = F[n](x) と表すことにします。 ＞(1)F_n(ｘ)を正弦にに直せ。 は、正弦のみを使う式に直せ、でしょうか？ 試しに、計算してみたら、 F[1](x) = sinx + cosx F[2](x) = (sinx + cosx)(cosx - sinx) = (cosx)^2 - (sinx)^2 = cos(2x) = 1-2x^2 F[3](x) = cos(2x){-2sin(2x)} = -sin(4x) F[4](x) = -sin(4x){-4cos(4x)} = 2sin(8x) F[5](x) = 2sin(8x){16cos(8x)} = 16sin(16x) F[6](x) = 16sin(16x){(16^2)*cos(16x)} = 8(16^2)sin(32x) となり、sinxの式だけにするという意味だと、難しかったり、面倒だったり、 それに比べて、「正弦のみ」という条件なら、ご覧のように、スッキリするので。 n=1のときははスッキリとは表せず、n=2,3は個別に書くしかなさそうですが、 (nにも条件があったのでしょうか？) n≧4 は、sinの係数、xの係数の漸化式が作れるので、それを解くなり、 一般のF[n](x)を推定して、数学帰納法で証明するなり、でできますね。 (2) は、単純計算だけですが、上のsinの係数の数列よりは スッキリした結果が出てくるので、これでよさそうです。 (でないと、(2)が易しすぎるのは、(1)のどこかでミスってないか、 と、気になっていたかも^^)
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