数学の問題です わからないので教えて下さい

質問

実数a,bに対してf（x）=a(x-b)²とおく。ただしaは正とする。
放物線f(ｘ)が 直線y=-4x+4に接している

i) bをaを用いて表せ

ii) 0≦ｘ≦2において

f(ｘ)の最大値M(a)と、最小値ｍ(a)を求めよ

回答No.1

nattocurry

(1)
a(x-b)^2=-4x+4 として、これが重解を持つように、判別式＝０にして、bをaで表す。

(2)
よくある問題。
軸がx=0の場合、M(a)=f(2),m(a)=f(x)=f(0)
軸が0<x<1の場合、M(a)=f(2),m(a)=f(x)
軸がx=1の場合、M(a)=f(0)=f(2),m(a)=f(x)=f(1)
軸が1<x<2の場合、M(a)=f(0),m(a)=f(x)
軸がx=2の場合、M(a)=f(0),m(a)=f(x)=f(2)

補足

ax~2-2abx+ab^2+4x-4=0
ax^2-x(2ab-4)-4+ab^2=0
判別式は(2ab-4)^2-4a*(ab^2-4)=0
-16ab+16+16a=0
-1b+1/a+1=0
b=1+1/a

f(x)=a(x-(1+1/a))^2
頂点が(1+1/a,0)なのでこれにより場合わけを行うが
注意する点としてa>0となっていること。
これより頂点のx座標は必ず1よりでかいことになる。
なので、最大値はaの値によらずx=0のときとなり
M(a)=f(0)=a+1/a+2

最小値は1+1/a=>2つまりa=>1のとき最小値は
m(a)=f(1+1/a)=0
またそれ以外(つまり0<a<1)のときは最小値
m(a)=f(2)=a+1/a-2