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二次関数の問題

二次関数の問題 実数a,bに対して、f(x)=a(x-b)^2とおく。ただし、aは正とする。 放物線y=f(x)が直線y=-4x+4に接している。 (1)bをaを用いて表せ。 (2)0≦x≦2において、f(x)の最大値M(a)と、最小値m(a)を求めよ。 (1)は、a(x-b)^2=-4x+4と置き、整理してから判別式D=0で解いて b=a+1/aであっていますか? また(2)はどのように考えるのでしょうか? やはり(1)を使うのでしょうか? またこの問題は「東京工業大学」の入試問題らしいのですが、 二次関数y=3/4x^2-3x+4の区間a≦x≦b(0<a<b)における値域が区間a≦y≦bであるという。aとbを求めよ。 これの考え方がわかりません。 とりあえず平方完成して軸(x=2)と頂点の座標(2,1)はだしたのですが、ここからのやりかたがわかりません。。 区間が文字だから場合分けとか思い浮かぶんですが・・・

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.4
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

(1) >b=(a+1)/aであっていますか? 合っています。分子には( )をつけて下さい。 (2) >やはり(1)を使うのでしょうか? 使います。 >0≦x≦2において M(a)=f(0)=a(0-(a+1)/a)^2={(a+1)^2}/a=2+a+(1/a) m(a)=f(2)=a(2-(a+1)/a)^2={(a-1)^2}/a=-2+a+(1/a) >問題は「東京工業大学」の入試問題 >y=(3/4)x^2-3x+4=(3/4)(x-2)^2 +1 =f(x)とおく。 f(a)=(3/4)(a-2)^2 +1 f(b)=(3/4)(b-2)^2 +1 ここで軸(x=2)とx=a,x=bの位置関係で場合わけすればいい。 a<b<=2の時 f(b)<=y<=f(a)  f(b)=a,f(a)=b a<=2<b,2-a<b-2の時 f(2)=1<=y<=f(b) a=1,f(b)=b a<=2<b,2-a>b-2の時 f(2)=1<=y<=f(a) a=1,f(a)=b 2<=a<bの時 f(a)<=y<=f(b) f(a)=a,f(b)=b 各場合について a,bを求めれば良いでしょう。

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質問者からのお礼

皆様回答ありがとうございました。

その他の回答 (4)

  • 回答No.5

>またこの問題は「東京工業大学」の入試問題らしいのですが、 >区間が文字だから場合分けとか思い浮かぶんですが・・・ 浮かんだだけでは、進まない。実際に手を動かしてみろよ、単なる計算問題だから。 f(x)=3/4x^2-3x+4 とする。 (1) 2≧b (2) a≧2 (3) (a+b)/2≦2≦b (4) a≦2≦(a+b) の4つの場合わけ。 ちなみに、(1)では b=f(a)、a=f(b)として、連立方程式を解くだけ。和と差を作ればいいだろう。 続きは、自分でやって。

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  • 回答No.3

(1) a(x-b)^2=4x+4. 放物線と直線が接している⇒これが重解をもつ⇒判別式=0。 (ab+2)^2-a^2b^2+4a=0. 4ab+4-4a=0. b=1-1/a. (2) a>0⇒1-1/a<1. f(x)=a(x-1+1/a)^2. 0≦1-1/a<1⇒最小値はf(1-1/a)=0. 1-1/a≦0⇒最小値はf(0)=a(1-1/a)^2. 最大値はf(2)=a(1+1/a)^2. 値域の右端=最大値、地域の左端=最小値。 最小値はaかbか頂点でとる。 最大値はaかbでとる。 y=f(x)=3/4(x-2)^2+1. 0<a<b≦2のとき、最大値はaで、最小値はbでとる。 f(a)=b,f(b)=aをみたす0<a<b≦2があるか? 0<a≦2<bのとき、最大値はaまたはbで、最小値は2でとる。 f(2)=a⇒a=1.これはダメ。 2<a<bのとき、最大値はbで、最小値はaでとる。 f(b)=b,f(a)=(a)をみたす2<a<bがあるか?

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  • 回答No.2

こんにちわ。 >b=a+1/aであっていますか? 微妙に、違っているように思われます。 もう一度、計算をやり直してみてください。 >また(2)はどのように考えるのでしょうか? >やはり(1)を使うのでしょうか? はい、(1)は使いますね。 小問題に入る前に書かれている内容(条件)なので、すべての小問題でこの条件はあるものとして扱います。 2次関数の xの範囲(定義域)と最大・最小(値域)の問題は、考えているように「軸」がキーになります。 xの範囲と軸との位置関係によって、最大・最小は変わりますね。 軸が別の変数だったり、xの範囲が別の変数だったりと形は違っていますが、考え方は同じです。 軸が「左」「真ん中」「右」でどのように変わるかを考えてみてください。

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質問者からの補足

何度計算しても b=a+1/aにしかならないのですが・・・。

  • 回答No.1
  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)

(1) やり方はあってる. 結果は確かめてないので知らない. (2) (1) の結果を使わないと b が消えてくれないので使うのは当然. あとは b と考えている範囲との関係をみる. 最後の奴は, グラフを描いちゃうのが速いんじゃないかな.

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