数列の問題です

質問

{bk}…一般項bk=2^(k+1)
{ck}…一般項ck=k+1

このとき

n
Σbkck をnを用いて表せ。
k=1

これをどのように変形したら解けるのでしょうか？
手がつけられず困っています。
お答えいただけると助かります！よろしくお願いします。

回答No.1

himajin100000 · ベストアンサー

n
S = Σbkck をnを用いて表せ。
k=1
====================================
n >= 2の時
S = 2 * 2^2 + 3 * 2^3 + 4 * 2^4 +… n * 2^n + ( n + 1 ) * 2^(n + 1)
2S = 2 * 2^3 + 3 * 2^4 + n * 2^ ( n +1) + ( n + 1 ) * 2^(n + 2)

2S - S
= S
= (n + 1) * 2^(n + 2) - 2 * 2^2 - (2^3 + 2^4 + 2^5 + … + 2^(n + 1))
= (n + 1) * 2^(n + 2) - 8 - 2^3 * (2^(n - 1) - 1)/(2 - 1)
= (n + 1) * 2^(n + 2) - 8 - 2^3 * (2^(n-1) - 1)
= 4 * (n + 1) * 2^n - 8 - 2^2 * 2^n + 2^3
= 4 * (n + 1) * 2^n - 8 - 4 * 2^n + 8
= 4 * n * 2^n

n = 1のとき、成り立つ。

よって
Σbkck = 4 * n * 2^n

お礼

計算の詳細までお答えくださってありがとうございます！
無事解決しました。本当に助かりました。

それとお礼が遅れてしまい申し訳ありません；

回答No.2

kotokototo

No.1 さんのようにやるのが定石ですが

x≠1のとき
　Σx^{k+1} = x^2(1-x^n)/(1-x)
の両辺を x で微分してから
両辺に x をかけることでも導くことが出来ます。

お礼

なるほど…
いろいろな解法がありますね！

お答えくださってありがとうございました。
お礼が遅くなってしまい申し訳ありません；