数列の問題なのですが・・・

質問

数列の問題で分からないところがあるのですが。
1,3+1/2,5+1/2^2,7+1/2^3・・・・・・・・・・・(2n+1)(1/2)^n-1
この問題の解説で
(1,＋3,＋5,＋7,＋・・・＋2n+1)+(1/2+1/2^2+1/2^3+・・・+(1/2)^(n-1)) =
Σ(2ｋ+1)「ｋが１からｎまで」＋Σ(1/2)^（ｋ-1）「ｋが２からｎまで」＝
Σ(2ｋ+1)「ｋが１からｎまで」＋Σ(1/2)^（ｋ-1）「ｋが１からｎ-1まで」
と載っていたのですがどうして Σ(1/2)^（ｋ-1）「ｋが２からｎまで」からΣ(1/2)^（ｋ-1）「ｋが１からｎ-1まで」と式変形できるのですか？この部部がよくわかりません。教えてください。

回答No.5

chiropy · ベストアンサー

No.1です。返事が遅くなって申し訳ありません。
(2)は (n-1)-1+1=n-1 (項)という部分がよくわからないので教えてください

Σf(k)「ｋがaからbまで」
　この時項数は b-a+1(項) です。
Σf(k)「ｋが１からｎ-1まで」
　この時は上のaが１、bがn-1に相当するので、項数は (n-1)-1+1(項) となります。

なぜ１を足すのか分からない時は具体的な数値をおくと分かると思います。
Σf(k)「ｋが1から2まで」
　この時項数は 2-1=1(項) ではなく、 2-1+1=2(項) だから1を足すのです。

説明不足の点がございましたら指摘してください。

お礼

ありがとうございました。理解できました。

回答No.4

Kemi33

お書きの数列は，1, 3+(1/2), 5+(1/2)^2, 7+(1/2)^3,・・・・ですよね。でしたら，第n項 (n≧2) は (2n-1)+(1/2)^(n-1) になります。n=2, 3, 4,・・・と代入して確認して下さい。

　そして，この数列の和を求めると次の様になります。

　和＝Σ(2k-1)[k=1からn]＋Σ(1/2)^(k-1)[k=2からn]

　ここで疑問に思ってられるのは，何故 Σ(1/2)^(k-1)[k=2からn]=Σ(1/2)^(k-1)[k=1からn-1] になるかという事ですね。でしたら，基本に返ってこの部分を書きだして比べてみましょう。

　まず，Σ(1/2)^(k-1)[k=2からn] の方です。

　Σ(1/2)^(k-1)[k=2からn] = (1/2)^1+(1/2)^2+(1/2)^3+・・・・+(1/2)^(n-2)+(1/2)^(n-1)

　次に，Σ(1/2)^(k-1)[k=1からn-1] です。

　Σ(1/2)^(k-1)[k=1からn-1] = 1+(1/2)^1+(1/2)^2+(1/2)^3+・・・・+(1/2)^(n-2)

　如何でしょうか？　前者には (1/2)^(n-1) がありますが，後者にある 1 がないですね。明らかに両者は違います。つまり，Σ(1/2)^(k-1)[k=2からn]≠Σ(1/2)^(k-1)[k=1からn-1] です。

　あなたが見間違えていないのであれば，その解説は Σ(1/2)^(k-1)[k=2からn]=Σ(1/2)^k[k=1からn-1] のミスプリントだと思います。

　これは，Σ(1/2)^(k-1)[k=2からn] で m=k-1 と変換すると Σ(1/2)^(k-1)[k=2からn] が Σ(1/2)^m[m=1からn-1] となります。ここで変数は k でも m でも和の値は同じですから，再び m を k に書き直す事で Σ(1/2)^(k-1)[k=2からn]=Σ(1/2)^k[k=1からn-1] が導かれます。

お礼

ありがとうございました。理解できました。

回答No.3

gabygaby

まず、問題の第ｎ項っておかしくないですか？
(2n+1)(1/2)^n-1じゃなくて(2n-1)+(1/2)^n-1 じゃないかと
思うんですが・・・。どうでしょう？

お礼

ありがとうございました。理解できました。

回答No.2

endlessriver

少し不明の部分もありますが次の式から出発します。
(1＋3＋5＋7＋・・・＋2n+1)+(1/2+1/2^2+1/2^3+・・・+(1/2)^(n-1)) =
Σ(2ｋ+1)「ｋが１からｎまで」＋Σ(1/2)^（ｋ-1）「ｋが２からｎまで」

となっていますが
Σ(2ｋ+1)「ｋが０からｎまで」＋Σ(1/2)^（ｋ-1）「ｋが２からｎまで」
の誤りです！！！！。

そこでΣ(2ｋ+1)「ｋが０からｎまで」は
＝１＋Σ(2ｋ+1)「ｋが１からｎまで」になります。

ここの１を後の数列の和に移すと
１＋Σ(2ｋ+1)「ｋが２からｎまで」
となり、これは
＝Σ(1/2)^（ｋ-1）「ｋが１からｎ-1まで」
となります。

お礼

ありがとうございました。理解できました。

回答No.1

chiropy

ただ式や記号を覚えるのではなく、本質を理解しましょう。
Σ(1/2)^（ｋ-1）「ｋが２からｎまで」
この式は等比数列の和を表しています。ここで重要なのは等比数列の和の公式です。記号ではなく意味（言葉）で覚えましょう。
(等比数列の和)＝(初項)×｛(公比)^(項数)－１｝÷｛(公比)－１｝
と、和を求めるには初項・公比・項数の3つがが必要です。ここで質問に戻ります。
Σ(2ｋ+1)「ｋが１からｎまで」＋Σ(1/2)^（ｋ-1）「ｋが２からｎまで」…(1)
Σ(2ｋ+1)「ｋが１からｎまで」＋Σ(1/2)^（ｋ-1）「ｋが１からｎ-1まで」…(2)
それぞれを見比べると初項・公比は明らかに同じです。では項数はどうでしょうか？
(1)は n-2+1=n-1（項）です。(2)は (n-1)-1+1=n-1 (項)となり、どちらも同じであることがわかります。
つまり(1)も(2)も初項・公比・項数が等しいので、その和も等しくなります。

こんな説明でよろしいでしょうか？わかりにくいところ、わからないところがあったら言ってください。

お礼

ありがとうございました。理解できました。

補足

n-2+1=n-1（項）です。(2)は (n-1)-1+1=n-1 (項)という部分がよくわからないので教えてください